Закон гука в дифференциальной и интегральной форме

1. Силы упругости. Виды деформации: растяжение, изгиб, сдвиг, кручение. Механическое напряжение. Закон Гука, модуль Юнга, коэффициент Пуассона

Си́ла упру́гости — сила, возникающая при деформации тела и противодействующая этой деформации.

Сила упругости имеет электромагнитную природу, являясь макроскопическим проявлением межмолекулярного взаимодействия. В простейшем случае растяжения/сжатия тела сила упругости направлена противоположно смещению частиц тела, перпендикулярно поверхности.

Деформа́ция — изменение взаимного положения частиц тела, связанное с их перемещением относительно друг друга.

Наиболее простые виды деформации тела в целом:

В большинстве практических случаев наблюдаемая деформация представляет собой совмещение нескольких одновременных простых деформаций. В конечном счёте, однако, любую деформацию можно свести к двум наиболее простым: растяжению (или сжатию) и сдвигу.

Растяжение-сжатие — вид продольной деформации стержня или бруса, возникающий в том случае, когда нагрузка прикладывается по продольной оси стержня и проходит через его центр масс.

Сдвиг — вид продольной деформации бруса, возникающий в том случае, если сила прикладывается касательно его поверхности (при этом нижняя часть бруска закреплена неподвижно).

Изгиб — вид деформации, при котором происходит искривление осей прямых брусьев или изменение кривизны осей кривых брусьев.

Кручение —вид деформации тела, возникающий в том случае, если нагрузка прикладывается к телу в виде пары сил (момента) в его поперечной плоскости. При этом в поперечных сечениях тела возникает только один внутренний силовой фактор —крутящий момент.

Упругая деформация — деформация, исчезающая после прекращения действий внешних сил. При этом тело принимает первоначальные размеры и форму.

Пластическая деформация — деформация, не исчезающая или исчезающая не полностью после прекращения действий внешних сил.

Механическое напряжение — это векторная физическая величина, мера внутренних сил, возникающих в деформируемом теле, под влиянием различных факторов.

Зако́н Гу́ка — уравнение теории упругости, связывающее напряжение и деформацию упругой среды.

Сила упругости, возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации.

Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

Коэффициент упругости (размерность L 0 MT -2 ) зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения и длины ) явно, записав коэффициент упругости как

Модуль Юнга (модуль упругости) — физическая величина, характеризующая свойства материала сопротивляться растяжению/сжатию при упругой деформации. Назван в честь английского физика XIX века Томаса Юнга. В динамических задачах механики модуль Юнга рассматривается в более общем смысле — как функционал среды и процесса. В Международной системе единиц (СИ) измеряется в ньютонах на метр в квадрате или в паскалях.

Модуль Юнга рассчитывается следующим образом:

Если ввести относительное удлинение

и нормальное напряжение в поперечном сечении

то закон Гука для относительных величин запишется как

В такой форме он справедлив для любых малых объёмов материала.

Также при расчёте прямых стержней применяют запись закона Гука в относительной форме

Читайте также:  Игры для планшета без подключения к интернету

текучесть
Область пропор- циональности
предел упругости

Коэффициент Пуассона (обозначается как или ) — абсолютная величина отношения поперечной и продольной относительной деформации образца материала. Этот коэффициент зависит не от размеров тела, а от природы материала, из которого изготовлен образец.

,

— коэффициент Пуассона;

— деформация в поперечном направлении (отрицательна при осевом растяжении, положительна при осевом сжатии);

— продольная деформация (положительна при осевом растяжении, отрицательна при осевом сжатии).

При приложении к телу растягивающего усилия оно начинает удлиняться (то есть продольная длина увеличивается), а поперечное сечение уменьшается. Коэффициент Пуассона показывает, во сколько раз поперечная деформация деформируемого тела больше продольной деформации, при его растяжении или сжатии. Для абсолютно хрупкого материала коэффициент Пуассона равен 0, для абсолютно несжимаемого — 0,5. Для большинства сталей этот коэффициент лежит в районе 0,3, для резины он примерно равен 0,5.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Студент – человек, постоянно откладывающий неизбежность. 10581 – | 7334 – или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Теоретическая механика и сопромат


Законом Гука называют базовую зависимость в механике, устанавливающую взаимосвязь между и соответствующими им . Закон был открыт в 1660 году английским ученым . Проведя серию экспериментов с пружин, Гук заметил, что изменение их длины прямо пропорционально растягивающей (сжимающей) их силе.

Свои наблюдения он оформил в виде закона: «Какова сила, таково и удлинение».

Современная формулировка закона существенно отличается от оригинала и зависит от дисциплины, в которой рассматривается зависимость от усилий.

Подробнее про закон Гука смотрите в нашем видео:

В современных учебниках физики Закон Гука имеет вид:

Дифференциальный закон гука

2.1 Внутренние усилия при растяжении и сжатии.

Закон Гука при растяжении и сжатии: абсолютная и относительная деформации, коэффициент Пуассона.

Обобщенный закон Гука: формулы обобщенного закона Гука, относительное изменение объема параллелепипеда.

9.8. Формулы обобщенного закона Гука

Гипотеза пластичности Хубера—Мизеса Согласно этой гипотезе переход тела из упругого состояния в пластическое происходит, когда

достигнет некоторого постоянного значения. Возникает вопрос: почему гипотеза Мизеса, приводящая к более сложному выражению для

, принимается наряду с гипотезой Сен—Венана.

Она достигает максимума при чистом сдвиге, когда

Закон Гука

Сила упругости, возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации.

[ LARGE F = kx ] Векторная формулировка закона Гука включает знак «минус», который говорит о том, что вектор деформации x всегда направлен противоположно силе упругости F: [ LARGE F = -kx ] Здесь ( F ) — сила растяжения или сжатия, ( x ) — абсолютное удлинение или сжатие, а ( k ) — коэффициент упругости (или жёсткости).

Основные понятия механики сплошных сред

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД Основные объекты теоретической механики • Материальная точка • Дискретные системы материальных точек • Абсолютно твердые тела Основные объекты механики сплошных сред • Газообразные среды • Жидкие среды • Твердые деформируемые тела Характеристики сплошных сред • Однородность (неоднородность) относительно некоторого свойства • Изотропность (анизотропность) относительно некоторого свойства Типы сил в механике сплошных сред • Массовые силы действуют на все элементы сплошной среды.

Читайте также:  Зачем нужны пальцы на ногах человеку

• Поверхностные силы действуют на элемент поверхности, ограничивающей тело, или ограничивающей внутренний элемент среды.

Закон Гука Деформация ε – относительное изменение размеров тела:

Закон гука определение и формула

Министерство образования АР Крым Таврический Национальный Университет им.

Вернадского Исследование физического закона ЗАКОН ГУКА Выполнил: студент 1 курса физического факультета гр.

Ф-111 Потапов Евгений Симферополь-2010 План:

  • Каким образом был открыт закон: на основе опытных данных или теоретически.
  • Примеры использования закона и учета действия закона на практике.
  • Формулировка закона
  • Литература.
  • Математическое выражение закона.
  • Связь между какими явлениями или величинами выражает закон.
  • Опытные факты на основе которого был сформулирован закон.
  • Опыты, подтверждающие справедливость закона, сформулированного на основе теории.

Связь между какими явлениями или величинами выражает закон: Закон Гука связывает такие явления, как напряжение и деформацию твердого тела, модуль силы упругости и удлинение.

Закон Гука

был открыт в XVII веке англичанином Робертом Гуком.

Это открытие о растяжении пружины является одним из законов теории упругости и выполняет важную роль в науке и технике.

Формулировка этого закона выглядит следующим образом: сила упругости, которая появляется в момент деформации тела, пропорциональна удлинению тела и направлена противоположно движению частиц этого тела относительно других частиц при деформации. Математическая запись закона выглядит так: Рис. 1. Формула закона Гука где Fупр – соответственно сила упругости, x – удлинение тела (расстояние, на которое изменяется исходная длина тела), а k – коэффициент пропорциональности, называемый жесткостью тела.

Сила измеряется в Ньютонах, а удлинение тела – в метрах.

Для раскрытия физического смысла жесткости, нужно в формулу для закона Гука подставить единицу, в которой измеряется удлинение – 1 м, заранее получив выражение для k. Рис.

Закон Гука для линейных деформаций

, где Е – модуль Юнга или модуль упругости I-го рода, для стали Eст = 2×105 МПа Относительная угловая деформация g — относительный угол деформации, равен изменению прямого угла при приложении нагрузки.

Рис. 4.2 Относительная угловая деформация Закон Гука для угловых деформаций где G – модуль сдвига или модуль упругости II-го рода Упругие постоянные материала связаны зависимостью:

где m — коэффициент Пуассона.

Он равен отношению поперечной деформации

бруса к продольной деформации

, взятого по модулю. mстали = 0,25 –0,35 5. Основные гипотезы,

Обобщенный закон Гука

Законом Гука обычно называют линейные соотношения между компонентами деформаций и компонентами напряжений.

Возьмем элементарный прямоугольный параллелепипед с гранями, параллельными координатным осям, нагруженный нормальным напряжением σх, равномерно распределенным по двум противоположным граням (рис. 1). При этом σy = σz = τхy = τхz = τyz = 0.

Рис. 1 Вплоть до достижения предела пропорциональности относительное удлинение дается формулой где Е — модуль упругости при растяжении.

Для стали Е = 2*105 МПа, поэтому деформации очень малы и измеряются в процентах или в 1*105 (в тензометрических приборах, измеряющих деформации). Удлинение элемента в направлении оси х сопровождается его сужением в поперечном направлении, определяемом компонентами деформаций где μ – константа, называемая коэффициентом поперечного сжатия или коэффициентом Пуассона.

Определение и формула закона Гука

Формулировка этого закона выглядит следующим образом: сила упругости, которая появляется в момент деформации тела, пропорциональна удлинению тела и направлена противоположно движению частиц этого тела относительно других частиц при деформации.

Читайте также:  Интернет в деревне оптимальные варианты беларусь

Математическая запись закона выглядит так:

Рис. 1. Формула закона Гука

где Fупр – соответственно сила упругости, x – удлинение тела (расстояние, на которое изменяется исходная длина тела), а k – коэффициент пропорциональности, называемый жесткостью тела. Сила измеряется в Ньютонах, а удлинение тела – в метрах.

Для раскрытия физического смысла жесткости, нужно в формулу для закона Гука подставить единицу, в которой измеряется удлинение – 1 м, заранее получив выражение для k.

Рис. 2. Формула жесткости тела

Эта формула показывает, что жесткость тела численно равна силе упругости, которая возникает в теле (пружине), когда оно деформируется на 1 м. Известно, что жесткость пружины зависит от ее формы, размера и материала, из которого произведено данное тело.

Сила упругости

Теперь, когда известно, какая формула выражает закон Гука, необходимо разобраться в его основной величине. Основной величиной является сила упругости. Она появляется в определенный момент, когда тело начинает деформироваться, например, когда пружина сжимается или растягивается. Она направлена в обратную сторону от силы тяжести. Когда сила упругости и сила тяжести, действующие на тело, становятся равными, опора и тело останавливаются.

Деформация – это необратимые изменения, происходящие с размерами тела и его формой. Они связанны с перемещением частиц относительно друг друга. Если человек сядет в мягкое кресло, то с креслом произойдет деформация, то есть изменятся его характеристики. Она бывает разных типов: изгиб, растяжение, сжатие, сдвиг, кручение.

Так как сила упругости относится по своему происхождению к электромагнитным силам, следует знать, что возникает она из-за того, что молекулы и атомы – наименьшие частицы, из которых состоят все тела, притягиваются друг другу и отталкиваются друг от друга. Если расстояние между частицами очень мало, значит, на них влияет сила отталкивания. Если же это расстояние увеличить, то на них будет действовать сила притяжения. Таким образом, разность сил притяжения и сил отталкивания проявляется в силах упругости.

Сила упругости включает в себя силу реакции опоры и вес тела. Сила реакции представляет особый интерес. Это такая сила, которая действует на тело, когда его кладут на какую-либо поверхность. Если же тело подвешено, то силу, действующую на него, называют, силой натяжения нити.

Особенности сил упругости

Как мы уже выяснили, сила упругости возникает при деформации, и направлена она на восстановление первоначальных форм и размеров строго перпендикулярно к деформируемой поверхности. У сил упругости также есть ряд особенностей.

  • они возникают во время деформации;
  • они появляются у двух деформируемых тел одновременно;
  • они находятся перпендикулярно поверхности, по отношению к которой тело деформируется.
  • они противоположны по направлению смещению частиц тела.

Применение закона на практике

Закон Гука применяется как в технических и высокотехнологичных устройствах, так и в самой природе. Например, силы упругости встречаются в часовых механизмах, в амортизаторах на транспорте, в канатах, резинках и даже в человеческих костях. Принцип закона Гука лежит в основе динамометра – прибора, с помощью которого измеряют силу.

Рис. 3. Динамометр

Что мы узнали?

Статья подробно знакомит учащихся с материалом о том, как формулируется обобщенный закон Гука, который изучают в 7 классе, и его основной величине – силе упругости.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector