Задачи на мощность множества

Разделы: Математика

На математическом кружке вместе с учащимися рассматривался ряд задач, благодаря наглядности которых, процесс решения становится понятным и интересным. На первый взгляд им хочется составить систему уравнений, но в процессе решения остается много неизвестных, что ставит их в тупик. Для того, чтобы уметь решать эти задачи, необходимо предварительно рассмотреть некоторые теоретические разделы теории множеств.

Введем определение множества, а так же некоторые обозначения.

Под множеством мы будем понимать такой набор, группу, коллекцию элементов, обладающих каким-либо общим для них всех свойством или признаком.

Множества обозначим А, В, С…, а элементы множеств а, b, с…, используя латинский алфавит.

Можно сделать такую запись определения множества:

, где

” – принадлежит;
“=>“ – следовательно;
“ø” – пустое множество, т.е. не содержащее ни одного элемента.

Два множества будем называть равными, если они состоят из одних и тех же элементов

Если любой элемент из множества А принадлежит и множеству В, то говорят, что множество А включено в множество В, или множество А является подмножеством множества В, или А является частью В, т.е. если , то , где “С” знак подмножества или включения.

Графически это выглядит так (рис.1):

Можно дать другое определение равных множеств. Два множества называются равными, если они являются взаимными подмножествами.

Рассмотрим операции над множествами и их графическую иллюстрацию (рис.2).

Объединением множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Слова “или ” ключевое в понимании элементов входящих в объединение множеств.

Это определение можно записать с помощью обозначений:

А υ В, где

где “ υ ” – знак объединения,

“ / ” – заменяет слова ”таких что“

Пресечение двух множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат и множеству А, и множеству В. Здесь уже ключевое слово “и”. Запишем коротко:

А ∩ В = С, где

“∩“ – знак пересечения. (рис.3)

Обозначим буквой Е основное или универсальное множество, где A С Е (“”- любо число), т.е. А Е = Е; АЕ =А

Множество всех элементов универсального множества Е, не принадлежащих множеству А называется дополнением множества А до Е и обозначается Ā Е или Ā (рис.4)

Е

Примерами для понимания этих понятий являются свойства:

А Ā=Е Ø = Е Е Ā=Ā

Свойства дополнения имеют свойства двойственности:

АВ = А∩В

АВ = АUВ

Введем еще одно понятие – это мощность множества.

Для конечного множества А через m (A) обозначим число элементов в множестве А.

Из определение следуют свойства:

Для любых конечных множеств справедливы так же утверждения:

m (AB) =m (A) + m (В) – m (А∩В)

m (A∩B) = m (A) + m (В) – m (АВ)

m (ABC) = m (A) + m (В) + m (С)– m (А∩В) – m (А∩С) – m (В∩С) – m (А∩В∩С).

А теперь рассмотрим ряд задач, которые удобно решать, используя графическую иллюстрацию.

Задача №1

В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии – 18 человек, по тригонометрии – 18 человек.

Читайте также:  Восстановление флешки через cmd

По алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии – 9 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека.

  1. Сколько учащихся решили все задачи?
  2. Сколько учащихся решили только две задачи?
  3. Сколько учащихся решили только одну задачу?

Задача № 2

Первую или вторую контрольные работы по математике успешно написали 33 студента, первую или третью – 31 студент, вторую или третью – 32 студента. Не менее двух контрольных работ выполнили 20 студентов.

Сколько студентов успешно решили только одну контрольную работу?

Задача № 3

В классе 35 учеников. Каждый из них пользуется хотя бы одним из видов городского транспорта: метро, автобусом и троллейбусом. Всеми тремя видами транспорта пользуются 6 учеников, метро и автобусом – 15 учеников, метро и троллейбусом – 13 учеников, троллейбусом и автобусом – 9 учеников.

Сколько учеников пользуются только одним видом транспорта?

Решение задачи № 1

Запишем коротко условие и покажем решение:

  • m (Е) = 40
  • m (А) = 20
  • m (В) = 18
  • m (С) = 18
  • m (А∩В) = 7
  • m (А∩С) = 8
  • m (В∩С) = 9

m (АВС) = 3 => m (АВС) = 40 – 3 = 37

Обозначим разбиение универсального множества Е множествами А, В, С (рис.5).

К 1 – множество учеников, решивших только одну задачу по алгебре;

К 2 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и геометрии;

К 3 – множество учеников, решивших только задачу по геометрии;

К 4 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и тригонометрии;

К 5 – множество всех учеников, решивших все три задачи;

К 6 – множество всех учеников, решивших только две задачи, по геометрии и тригонометрии;

К 7 – множество всех учеников, решивших только задачу по тригонометрии;

К 8 – множество всех учеников, не решивших ни одной задачи.

Используя свойство мощности множеств и рисунок можно выполнить вычисления:

  • m (К 5 ) = m (А∩В∩С)= m (АВС) – m (А) – m (В) – m (С) + m (А∩В) + m (А∩С) + m (В∩С)
  • m (К 5 ) = 37-20-18-18+7+8+9=5
  • m (К 2 ) = m (А∩В) – m (К 5 ) = 7-5=2
  • m (К 4 ) = m (А∩С) – m (К 5 ) = 8-5=3
  • m (К 6 ) = m (В∩С) – m (К 5 ) = 9-5=4
  • m (К 1 ) = m (А) – m (К 2 ) – m (К 4 ) – m (К 5 ) = 20-2-3-5=10
  • m (К 3 ) = m (В) – m (К 2 ) – m (К 6 ) – m (К 5 ) = 18-2-4-5=7
  • m (К 7 ) = m (С) – m (К4) – m (К 6 ) – m (К 5 ) = 18-3-4-5 =6
  • m (К 2 ) + m (К 4 ) + m (К6) = 2+3+4=9 – число учеников решивших только две задачи;
  • m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 ) = 10+7+6=23 – число учеников решивших только одну задачу.

Ответ:

5 учеников решили три задачи;

9 учеников решили только по две задачи;

23 ученика решили только по одной задаче.

С помощью этого метода можно записать решения второй и третьей задачи так:

Решение задачи № 2

  • m (АВ) = 33
  • m (АС) = 31
  • m (ВС) = 32
  • m (К 2 ) + m (К 4 ) + m (К 6 ) + m (К 5 ) = 20

Найти m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 )

  • m (АUВ) = m (К 1 ) + m (К 2 ) + m (К 3 ) + m (К 4 ) + m (К 5 ) + m (К 6 ) = m (К 1 ) + m (К 3 ) + 20 = 33 =>
  • m (К 1 ) + m (К 3 ) = 33 – 20 = 13
  • m (АUС) = m (К 1 ) + m (К 4 ) + m (К 2 ) + m (К 5 ) + m (К 6 ) + m (К 7 ) = m (К 1 ) + m (К 7 ) + 20 = 31 =>
  • m (К 1 ) + m (К 7 ) = 31 – 20 = 11
  • m (ВUС) = m (К 3 ) + m (К 2 ) + m (К 5 ) + m (К 6 ) + m (К 7 ) + m (К 4 ) = m (К 3 ) + m (К 7 ) + 20 = 32 =>
  • m (К 3 ) + m (К 7 ) = 32 – 20 = 12
  • 2m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 ) = 13+11=24
  • 2m (К 1 ) + 12 = 24
  • m (К 3 )= 13-6=7
  • m (К 7 )=12-7=5
  • m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 ) = 6+7+5=18
Читайте также:  Включить локальную политику безопасности

Ответ:

Только одну контрольную работу решили 18 учеников.

Решение задачи № 3

  • m (Е) = 35
  • m (А∩В∩С)= m (К 5 ) = 6
  • m (А∩В)= 15
  • m (А∩С)= 13
  • m (В∩С)= 9

Найти m (К1) + m (К3) + m (К 7 )

  • m (К 2 ) = m (А∩В) – m (К 5 ) = 15-6=9
  • m (К 4 ) = m (А∩С) – m (К 5 ) = 13-6=7
  • m (К 6 ) = m (В∩С) – m (К 5 ) = 9-6=3
  • m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 ) = m (Е) – m (К 4 ) – m (К 2 ) – m (К 6 ) – m (К 5 ) = 35-7-9-3-6=10

Ответ:

Только одним видом транспорта пользуется 10 учеников.

Литература: А.Х. Шахмейстер «Множества. Функции. Последовательности»

На этой странице вы найдете готовые примеры по базовому разделу дискретной математики: элементам теории множеств. Типовые задачи снабжены подробным решением, формулами, пояснениями. Используйте их, чтобы научиться решать подобные задачи или закажите решение своей работы нам.

Основные темы (множества) : задание множеств, действия с множествами (пересечение, объединение, разность, дополнение); формула включений-исключений и применение для практических задач; декартово произведение множеств, мощность множества, построение диаграмм Эйлера-Венна.

Задачи с решениями о множествах онлайн

Задача 1. Начертите фигуры, изображающие множества , где – вещественная плоскость. Какие фигуры изображают множества ?

Задача 2. Докажите тождество

Задача 3. Установите взаимно однозначное соответствие между всеми прямыми на плоскости и всеми точками координатной оси Ох.

Задача 4. М – подмножество множества натуральных чисел. 10 элементов множества являются простыми числами, а остальные кратны либо 2, либо 3, либо 5. Определить мощность множества , если оно содержит: 70 чисел кратных 2; 60 чисел кратных 3; 80 числе кратных 5; 98 чисел кратных или 2 или 3; 95 чисел кратных или 2 или 5; 102 числа кратных или 3 или 5; 20 чисел, кратных 30.

Задача 5. Проверить справедливость тождеств или включений, используя алгебру множеств и диаграммы Эйлера-Венна.

Задача 6. Записать множества $A, B, C$ перечислением их элементов и найти . если
$A$ – множество корней уравнения $x^2-12x-28=0$,
$B$ – множество делителей числа 28,
$C$ – множество нечетных чисел $X$, таких что $0 le X le 7$.

Задача 7. Задано универсальное множество $U=<1,2,3,4,5,6,7,8>$ и множества $X=<1,3,6,7>$, $Y=<3,4,7,8>$, $Z=<3,4,7,8>$. Записать булеан множества $X$, любое разбиение множества $Y$, покрытие множества $Z$. Выполнить действия $(X setminus Y)cap ar Z$.

Задача 8. Решить задачу, используя диаграмму Эйлера-Венна.
Четырнадцать спортсменов участвовали в кроссе, 16 – в соревнованиях по плаванию, 10 – в велосипедных гонках. Восемь участников участвовали в кроссе и заплыве, 4 – в кроссе и велосипедных гонках, 9 – в плавании и велосипедных гонках. Во всех трех соревнованиях участвовали три человека. Сколько всего было спортсменов?

Задача 9. Пусть $Р(А)$ – множество всех подмножеств множества $А$. В каждом из следующих упорядоченных множеств укажите все минимальные и все максимальные элементы; найдите наибольший и наименьший элементы, если они есть, или докажите их отсутствие:

Задача 10. В химическом продукте могут оказаться примеси четырёх видов – $a,b,c,d$. Приняв в качестве исходного множества $М = $, образуйте множество всех его подмножеств $В(М)$. Дайте содержательную интерпретацию этого множества и его элементов. Каким ситуациям соответствуют, в частности, несобственные подмножества?

Решение задач о множествах на заказ

Выполняем для студентов очников и заочников решение заданий, контрольных и практических работ по любым разделам теории множеств. Также оказываем помощь в сдаче тестов. Подробное оформление, таблицы, графики, пояснение, использование специальных программ при необходимости. Стоимость примера от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 2 дней.

Читайте также:  Как включить джойстик на икс бокс 360

1) Можно ли на плоскости построить континуум попарно непересекающихся окружностей?

Возьмем окружность произвольного радиуса a и все концентрические с ней окружности внутри её (окружности эти пересекаться не будут). Каждой окружности поставим в соответствие длину ей радиуса. Радиус может иметь любую длину от 0 до а. Таким образом, множество таких радиусов равномощно отрезку [0, а], т.е. имеет мощность с. А значит и множество концентрических окружностей имеет мощность с. А значит, на плоскости можно построить континуум попарно непересекающихся окружностей.

2) Можно ли написать на доске континуум попарно непересекающихся букв (размеры букв могут быть произвольными) а) Г; б) N; в) А?

  • а) Дополним букву Г до прямоугольника и проведем его диагональ из левого верхнего угла (обозначим длину диагонали за a). Зафиксируем правый нижний угол и будем уменьшать диагональ (стороны, образующие букву Г, одного прямоугольника не будут пересекаться со сторонами другого прямоугольника). Каждому прямоугольнику поставим в соответствие длину его диагонали. Длина диагонали может иметь любое вещественное значение от 0 до а. Т.о., множество таких диагоналей имеет мощность с, а значит и множество таких прямоугольников есть мощность континуума. Следовательно, и множество пар левых боковых и верхних сторон прямоугольников (т.е. букв Г) имеет мощность континуума. Т.о., на доске можно написать континуум попарно непересекающихся букв Г.
  • б) Напишем под небольшим наклоном букву N. Эта буква состоит из трех отрезков. Проведем четыре вертикальные параллельные прямые через конец каждого отрезка. Ниже данной N изобразим ещё одну N, заключенную между вертикальными прямыми (стороны букв будут попарно параллельны). Эти две буквы отсекают от вертикальных прямых четыре отрезка (обозначим их за a, b, c, d). Установим биекцию между точками отрезков a и b, b и c, c и d при помощи отрезков параллельных сторонам N (отрезки имеют мощность континуума). Т.о., получаем континуум букв N, не пересекающихся между собой и нарисованных на части плоскости.
  • в) В каждом треугольнике буквы А выберем точку с рациональными координатами и поставим эту точку в соответствие букве, внутри которой она находится. Т.к. множество рациональных чисел счетно, то и множество пар рациональных чисел счетно (по шестому свойству счетных множеств), т.е. счетно множество точек с рациональными координатами. Поскольку буквы А не пересекаются, точки совпасть не могут. Т.е. на доске можно написать не больше чем счетное «количество» букв А.
  • 3) Можно ли построить на плоскости континуум попарно непересекающихся восьмерок?

Поскольку множество рациональных чисел счетно, то и множество точек с рациональными координатами счетно, а, значит, счетно и множество пар точек с рациональными координатами. Выберем в каждом кругу восьмерки по точке с рациональными координатами, и поставим эту пару ей в соответствие. Поскольку восьмерки не пересекаются, каждая пара может встретиться не больше одного раза. Т.о., на доске можно изобразить не больше чем счетное количество восьмерок.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector