Вычислить площадь криволинейной трапеции

В этой статье мы будем учиться решать задачи на нахождение площади криволинейной трапеции.

Как всегда, начнем с теории. Как вы помните, неопределенный интеграл от функции – это множество всех первообразных :

В неопределенном интеграле не заданы границы интегрирования, и в результате нахождения неопределенного интеграла от функции мы получаем множество первообразных, отличающихся друг от друга на постоянную величину С.

Если заданы границы интегрирования, то мы получаем определенный интеграл:

Здесь число – нижний предел интегрирования, число – верхний предел интегрирования. Определенный интеграл – это ЧИСЛО, значение которого вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница :

.

– это значение первообразной функции в точке , и, соответственно, – это значение первообразной функции в точке .

Для нас с точки зрения решения задач важное значение имеет геометрический смысл определенного интеграла.

Рассмотрим фигуру, изображенную на рисунке:

Зеленая фигура, ограниченая сверху графиком функции , слева прямой , справа прямой , и снизу осью ОХ называется криволинейной трапецией.

Геометрический смысл определенного интеграла:

Определенный интеграл – это число, равное площади криволинейной трапеции – фигуры, ограниченой сверху графиком положительной на отрезке функции , слева прямой , справа прямой , и снизу осью ОХ.

Решим задачу из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

Прототип Задания 7 (№ 323080)

На рисунке изображён график некоторой функции . Функция — одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Закрашенная фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции , слева прямой , справа прямой , и снизу осью ОХ.

Площадь этой криволинейной трапеции вычисляется по формуле :

, где – первообразная функции .

По условию задачи , поэтому, чтобы найти площадь фигуры, нам нужно найти значение первообразной в точке -8, в точке -10, и затем из первого вычесть второе.

Читайте также:  Добавить картинки в контакт

Замечу, что в этих задачах очень часто возникают ошибки именно в вычислениях, поэтому советую аккуратно и подробно их записывать, и ничего не считать "в уме".

=

=

Ответ: 4

Посмотрите небольшую видеолекцию, в которой решены все типы задач на первообразную:

  • kor.giorgio@gmail.com Выход

    Этот математический калькулятор онлайн поможет вам вычислить определенный интеграл (площадь криволинейной трапеции). Программа для вычисления определенного интеграла (площади криволинейной трапеции) не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс интегрирования функции.

    Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

    Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

    Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
    Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >>
    С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> –> Введите подинтегральную функцию и пределы интегрирования Для данной задачи возможно получить подробное решение.
    Узнайте как это сделать.

    В решении ошибка
    Если вы считаете, что задача решена не правильно, то нажмите на эту кнопку.

    Определенный интеграл.
    Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

    Задача 1 (о вычислении площади криволинейной трапеции).

    В декартовой прямоугольной системе координат xOy дана фигура (см. рисунок), ограниченная осью х, прямыми х = a, х = b (a

    Читайте также:  Выпуск 3310 ввс читать

    Понятие определенного интеграла

    Дадим математическое описание той модели, которая была построена в трех рассмотренных задачах для функции y = f(x), непрерывной (но необязательно неотрицательной, как это предполагалось в рассмотренных задачах) на отрезке [а; b]:
    1) разбиваем отрезок [а; b] на n равных частей;
    2) составляем сумму $$ S_n = f(x_0)Delta x_0 + f(x_1)Delta x_1 + dots + f(x_)Delta x_ $$
    3) вычисляем $$ lim_ S_n $$

    В курсе математического анализа доказано, что этот предел в случае непрерывной (или кусочно-непрерывной) функции существует. Его называют определенным интегралом от функции y = f(x) по отрезку [а; b] и обозначают так:
    ( intlimits_a^b f(x) dx )
    Числа a и b называют пределами интегрирования (соответственно нижним и верхним).

    Вернемся к рассмотренным выше задачам. Определение площади, данное в задаче 1, теперь можно переписать следующим образом:
    ( S = intlimits_a^b f(x) dx )
    здесь S — площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке выше. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

    Определение перемещения s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = a до t = b, данное в задаче 2, можно переписать так:
    ( S = intlimits_a^b v(t) dt )

    Формула Ньютона — Лейбница

    Для начала ответим на вопрос: какая связь между определенным интегралом и первообразной?

    Ответ можно найти в задаче 2. С одной стороны, перемещение s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = а до t = b и вычисляется по формуле
    ( S = intlimits_a^b v(t) dt )

    С другой стороны, координата движущейся точки есть первообразная для скорости — обозначим ее s(t); значит, перемещение s выражается формулой s = s(b) – s(a). В итоге получаем:
    ( S = intlimits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) )
    где s(t) — первообразная для v(t).

    В курсе математического анализа доказана следующая теорема.
    Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то справедлива формула
    ( S = intlimits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) )
    где F(x) — первообразная для f(x).

    Приведенную формулу обычно называют формулой Ньютона — Лейбница в честь английского физика Исаака Ньютона (1643—1727) и немецкого философа Готфрида Лейбница (1646— 1716), получивших ее независимо друг от друга и практически одновременно.

    Читайте также:  Игры для руля с педалями на ps3

    На практике вместо записи F(b) – F(a) используют запись ( left. F(x)
    ight|_a^b ) (ее называют иногда двойной подстановкой) и, соответственно, переписывают формулу Ньютона — Лейбница в таком виде:
    ( S = intlimits_a^b f(x) dx = left. F(x)
    ight|_a^b )

    Вычисляя определенный интеграл, сначала находят первообразную, а затем осуществляют двойную подстановку.

    Опираясь на формулу Ньютона — Лейбница, можно получить два свойства определенного интеграла.

    Свойство 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:
    ( intlimits_a^b (f(x) + g(x))dx = intlimits_a^b f(x)dx + intlimits_a^b g(x)dx )

    Свойство 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
    ( intlimits_a^b kf(x)dx = k intlimits_a^b f(x)dx )

    Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла

    С помощью интеграла можно вычислять площади не только криволинейных трапеций, но и плоских фигур более сложного вида, например такого, который представлен на рисунке. Фигура Р ограничена прямыми х = а, х = b и графиками непрерывных функций y = f(x), y = g(x), причем на отрезке [а; b] выполняется неравенство ( g(x) leq f(x) ). Чтобы вычислить площадь S такой фигуры, будем действовать следующим образом:
    ( S = S_ = S_ – S_ = intlimits_a^b f(x) dx – intlimits_a^b g(x) dx = )
    ( = intlimits_a^b (f(x)-g(x))dx )

    Итак, площадь S фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = b и графиками функций y = f(x), y = g(x), непрерывных на отрезке [a; b] и таких, что для любого x из отрезка [а; b] выполняется неравенство ( g(x) leq f(x) ), вычисляется по формуле
    ( S = intlimits_a^b (f(x)-g(x))dx )

    Ключевые слова: найти площадь фигуры на рисунке, заштрихованной, закрашенной, плоской, сложной фигуры, вычислить площадь фигуры.

    Предлагаем Вашему вниманию калькулятор для нахождения площади фигуры ограниченной кривыми линиями. Калькулятор в автоматическом режиме составляет интеграл, находит границы интегрирования, а также рисует саму фигуру на координатной плоскости. Как частный случай, калькулятор находит площадь криволинейной трапеции.

  • Ссылка на основную публикацию
    Adblock detector