Вычислить действительную часть комплексного числа

Введите комплексное выражение, которое необходимо вычислить

Выполняет простые операции с комплексными числами.

  • Выполнять деление с подробным решением
  • Находить разные формы комплексных чисел:
    1. Алгебраическую
    2. Тригонометрическую
    3. Показательную
    4. Модуль и аргумент комплексного числа
    5. Комплексно-сопряжённое к данному
    6. Геометрическую интерпретацию комплексного числа

    Правила ввода комплексных выражений с примерами:

    Комплексное число записывается в виде a + bj, например 1.5 + 4.7j (j писать слитно) Комплексная единица (Мнимая) – должна записываться в виде 1j (Просто j не будет работать) (3+4j)/(7-5j) – деление (3.6+4j)*(7+5j) – умножение (3+56j)^7 – возведение в степень (5+6j) + 8j – сложение (5+6j) – (7-1j) – вычитание conjugate(1+4j) или conj(1+4j) Сопряженное (комплексно-сопряженное) число для (1 + 4j)

    Можно использовать следующие функции от x (например, x = 1 + 2.5j):

    Правила ввода выражений и функций

    Видео пример

    © Контрольная работа РУ – калькуляторы онлайн

    В математике кроме натуральных, рациональных и вещественных чисел имеется ещё один вид, называемый комплексными числами. Такое множество принято обозначать символом $ mathbb $.

    Рассмотрим, что из себя представляет комплексное число. Запишем его таким образом: $ z = a + ib $, в котором мнимая единица $ i = sqrt <-1>$, числа $ a,b in mathbb $ вещественные.

    Если положить $ b = 0 $, то комплексное число превращается в вещественное. Таким образом, можно сделать вывод, что действительные числа это частный случай комплексных и записать это в виде подмножества $ mathbb subset mathbb $. К слову говоря также возможно, что $ a = 0 $.

    Принято записывать мнимую часть комплексного числа как $ Im(z) = b $, а действительную $ Re(z) = a $.

    Введем понятие комплексно-сопряженных чисел. К каждому комплексному числу $ z = a+ib $ существует такое, что $ overline = a-ib $, которое и называется сопряженным. Такие числа отличаются друг от друга только знаками между действительной и мнимой частью.

    Формы

    Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:

    1. Алгебраическая $ z = a+ib $
    2. Показательная $ z = |z|e^ $
    3. Тригонометрическая $ z = |z|cdot(cos(varphi)+isin(varphi)) $

    Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.

    Изображение

    Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:

    Видим, что $ a,b in mathbb $ расположены на соответствующих осях плоскости.

    Комплексное число $ z = a+ib $ представляется в виде вектора $ overline $.

    Читайте также:  Греется чипсет на материнской плате asus

    Аргумент обозначается $ varphi $.

    Модуль $ |z| $ равняется длине вектора $ overline $ и находится по формуле $ |z| = sqrt $

    Аргумент комплексного числа $ varphi $ нужно находить по различным формулам в зависимости от полуплоскости, в которой лежит само число.

    Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:

    $$ z_1 = 3+i, z_2 = 5-2i $$

    Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:

    $$ z_1 + z_2 = (3+i) + (5-2i) = (3+5)+(i-2i) = 8 – i $$

    Аналогично выполним вычитание чисел:

    $$ z_1 – z_2 = (3+i) – (5-2i) = (3-5)+(i+2i) = -2 + 3i $$

    Пример 2
    Решение
    Ответ
    $$ z_1 + z_2 = 8 – i; z_1 – z_2 = -2 + 3i $$

    Выполнить умножение и деление комплексных чисел:

    $$ z_1 = 3+i, z_2 = 5-2i $$

    $$ z_1 cdot z_2 = (3+i) cdot (5-2i) = $$

    Просто на просто раскроем скобки и произведем приведение подобных слагаемых, так же учтем, что $ i^2 = -1 $:

    $$ = 15 – 6i + 5i -2i^2 = 15 – i – 2cdot(-1) = $$

    $$ = 15 – i + 2 = 17 – i $$

    Так, теперь разделим первое число на второе:

    Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:

    Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:

    Пример 3
    Решение
    Ответ
    $$ z_1 cdot z_2 = 17 – i; frac = frac<13> <29>+ frac<11><29>i $$

    Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя:

    $$ z^2 = (3+3i)^2 = (3+3i)cdot (3+3i) = $$

    Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные:

    $$ =9 + 9i + 3icdot 3 + 9i^2 = 9 + 18i – 9 = 18i $$

    Получили ответ, что $$ z^2 = (3+i)^2 = 18i $$

    В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.

    Вычисляем значение модуля:

    Найдем чем равен аргумент:

    $$ varphi = arctg frac<3> <3>= arctg(1) = frac<pi> <4>$$

    Записываем в тригонометрическом виде:

    Возводим в степень $ n = 7 $:

    Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:

    $$ = 3^7 sqrt<2>^6 (1-i) = 3^7 cdot 8(1-i) = $$

    $$ = 2187 cdot 8 (1-i) = 17496(1-i) $$

    $$ z^2 = (3+i)^2 = 18i $$ $$ z^7 = 17496(1-i) $$

    Пример 4
    Возвести комплексное число $ z = 3+3i $ в степень: a) $ n=2 $ б) $ n=7 $
    Решение
    Ответ

    Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:

    $$ varphi = arctg frac<0> <-1>+pi = arctg 0 + pi = pi $$

    Получаем: $$ z = (cos pi + isin pi) $$

    Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:

    Так как степень $ n = 3 $, то по формуле $ k = 0,1,2 $:

    Пример 5
    Извлечь корень $ sqrt[3] <-1>$ над множеством $ mathbb $
    Решение
    Ответ
    Читайте также:  Как включить индикатор на самсунге j5 2016

    Решать будем по общей формуле, которую все выучили в 8 классе. Находим дискриминант $$ D = b^2 – 4ac = 2^2 – 4cdot 1 cdot 2 = 4-8 = -4 $$

    Калькулятор комплексных чисел позволяет вычислять арифметические выражения, содержащие комплексные числа, знаки арифметических действий (+, -, *, /, ^), а также некоторые математические функции.

    Калькулятор комплексных чисел

    Как пользоваться калькулятором

    1. Введите в поле ввода выражение с комплексными числами
    2. Укажите, требуется ли вывод решения переключателем "С решением"
    3. Нажмите на кнопку "Построить"

    Ввод комплексных чисел

    комплексные числа можно вводить в следующих трёх форматах:

    • Только действительная часть: 2, 2.5, -6.7, 12.25
    • Только мнимая часть: i, -i, 2i, -5i, 2.16i, -12.5i
    • Действительная и мнимая части: 2+i, -5+15i, -7+2.5i, -6+i
    • Математические константы: π, e

    Поддерживаемые операции и математические функции

    • Арифметические операции: +, -, *, /, ^
    • Получение абсолютного значения числа: abs
    • Базовые математические функции: exp, ln, sqrt
    • Получение действительной и мнимой частей: re, im
    • Тригонометрические функции: sin, cos, tg, ctg
    • Гиперболические функции: sh, ch, th, cth
    • Обратные тригонометрические функции: arcsin, arccos, arctg, arcctg
    • Обратные гиперболические функции: arsh, arch, arth, arcth

    Примеры корректных выражений

    • (2+3i)*(5-7i)
    • sh(i)
    • (4+i) / (3 – 4i)
    • sqrt(2i)
    • (-3+4i)*2i / exp(2i + (15 – 8i)/4 – 3.75)

    Комплексные числа

    Комплексные числа — это числа вида x+iy , где x , y — вещественные числа, а i – мнимая единица (специальное число, квадрат которого равен -1, то есть i 2 = -1 ).
    Так же, как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, разности, умножения и деления, однако комплексные числа нельзя сравнивать.

    Примеры комплексных чисел

    • 4+3i — действительная часть = 4, мнимая = 3
    • -2+i — действительная часть = -2, мнимая = 1
    • i — действительная часть = 0, мнимая = 1
    • -i — действительная часть = 0, мнимая = -1
    • 10 — действительная часть = 10, мнимая = 0

    Основные действия с комплексными числами

    Основными операциями, определёнными для комплексных чисел, являются сложение, разность, произведение и деление комплексных чисел. Операции для двух произвольных комплексных чисел (a + bi) и (c + di) определяются следующим образом:

    • сложение: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
    • вычитание: (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
    • умножение: (a + bi) · (c + di) = ac + bci + adi + bdi 2 = (ac – bd) + (bc + ad)i
    • деление:

    Примеры

    Найти сумму чисел 5+7i и 5.5-2i :
    Найдём отдельно суммы действительных частей и сумму мнимых частей: re = 5 + 5.5 = 10.5, im = 7 – 2 = 5.
    Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 10.5 + 5i
    Полученное число и будет ответом: 5+7i + 5.5-2i = 10.5 + 5i

    Найти разность чисел 12-i и -2i :
    Найдём отдельно разности действительных частей и разности мнимых частей: re = 12 – 0 = 12, im = -1 – (-2) = 1.
    Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 12 + 1i
    Полученное число и будет ответом: 12-i – (-2i) = 12 + i

    Найти произведение чисел 2+3i и 5-7i :
    Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = 2·5 – 3·(-7) = 31, im = 3·5 + 2·(-7) = 1.
    Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 31 + 1i
    Полученное число и будет ответом: 2+3i * (5-7i) = 31 + i

    Найти отношение чисел 75-50i и 3+4i :
    Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = (75·3 – 50·4) / 25 = 1, im = (-50·3 – 75·4) / 25 = -18.
    Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 1 – 18i
    Полученное число и будет ответом: 75-50i / (3+4i) = 1 – 18i

    Другие действия над комплексными числами

    Помимо базовых операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел существуют также различные математические функции. Рассмотрим некоторые из них:

    • Получение действительной части числа: Re(z) = a
    • Получение мнимой части числа: Im(z) = b
    • Модуль числа: |z| = √(a 2 + b 2 )
    • Аргумент числа: arg z = arctg(b / a)
    • Экспонента: e z = e a ·cos(b) + i·e a ·sin(b)
    • Логарифм: Ln(z) = ln |z| + i·arg(z)
    • Тригонометрические функции: sin z, cos z, tg z, ctg z
    • Гиперболические функции: sh z, ch z, th z, cth z
    • Обратные тригонометрические функции: arcsin z, arccos z, arctg z, arcctg z
    • Обратные гиперболические функции: arsh z, arch z, arth z, arcth z

    Примеры

    Найти действительную и мнимую части числа z, а также его модуль, если z = 4 – 3i
    Re(z) = Re(4 – 3i) = 4
    Im(z) = Im(4 – 3i) = -3
    |z| = √(4 2 + (-3) 2 ) = √25 = 5

    Формы представления комплексных чисел

    Комплексные числа принято представлять в одной из трёх следующих форм: алгебраической, тригонометрической и показательной.

    • Алгебраическая форма — наиболее часто используемая форма комплексного числа, запись числа в виде суммы действительной и мнимой частей: x+iy , где x — действительная часть, а y — мнимая часть
    • Тригонометричкая форма — запись вида r·(cos φ + isin φ) , где r — модуль комплексного числа (r = |z|), а φ — аргумент этого числа (φ = arg(z))
    • Показательная форма — запись вида r·e iφ , где r — модуль комплексного числа (r = |z|), e — число Эйлера, а φ — аргумент комплексного числа (φ = arg(z))

    Пример:

    Переведите число 1+i в тригонометрическую и показательную формы:

    • Найдём радиус (модуль) комплексного числа r: r = √(1 2 + 1 2 ) = √2
    • Найдём аргумент числа: φ = arctan(
    Пример 6
    Решить квадратное уравнение $ x^2 + 2x + 2 = 0 $ над $ mathbb $
    Решение
    Ссылка на основную публикацию
    Adblock detector