Второй замечательный предел с логарифмами

Второй замечательный предел и его следствия

Второй замечательный предел – это предел, на основе которого вычисляются производные показательной функции и логарифма.

Лемма. Второй замечательный предел
.
Здесь x – действительное число.
Доказательство ⇓

Доказательство второго замечательного предела

При доказательстве мы будем использовать тот факт, что последовательность строго возрастает и имеет конечный предел, равный числу e : .
Доказательство приведено на странице «Число e – его смысл и доказательство сходимости последовательности».

Сначала рассмотрим правый предел
.
Для его существования должна существовать такая окрестность точки , на которой функция определена. В нашем случае, определена при . Но мы можем выбрать любую окрестность. Для удобства считаем, что .

Пусть – функция, которая означает, целую часть числа x . Например: . Она не убывает. Рассмотрим сложную функцию
.
Докажем, что она имеет предел при , равный числу e : .

Поскольку последовательность строго возрастает, а функция не убывает, то сложная функция не убывает. Тогда по теореме о пределе монотонной функции, имеет конечный или бесконечный предел при :
.
Покажем, что . Для этого используем определение предела функции по Гейне, согласно которому, если функция имеет предел при : , то для любой последовательности , сходящейся к , последовательность сходится к A : . Возьмем последовательность . Она сходится к . Тогда . Но последовательность совпадает с :
.
Поэтому ее предел равен . Таким образом A = e :
(1) .

Сделаем подстановку . Заметим, что . Заменив переменную t на x получим:
(2) .

Теперь воспользуемся тем, что . Тогда

;
(3) .
Далее замечаем, что
, .
Применяем арифметические свойства предела функции и пределы (1) и (2):
;
.

Теперь рассмотрим левый предел
.
Считаем, что . Сделаем подстановку . Тогда . При .

.
Применяем арифметические свойства предела функции.

.

Поскольку существуют равные пределы справа и слева, то существует и двусторонний предел
.
Второй замечательный предел доказан.

Доказательство следствий второго замечательного предела

1) Докажем, что .
Делаем замену переменной . Тогда . При . Поэтому
.

Заметим, что фактически мы представили как сложную функцию , где . Далее мы применили теорему о пределе сложной функции.

Следствие 1) доказано.

2) Докажем, что .
Выполняем преобразования, учитывая что показательная функция является обратной к логарифмической:
.

Делаем замену переменной . В силу непрерывности показательной функции,
. Поскольку при , то

.
В предпоследнем равенстве мы воспользовались непрерывностью логарифмической функции и теоремой о пределе непрерывной функции от функции. В последнем равенстве мы применили следствие второго замечательного предела.

Также заметим, что применяя подстановку, мы представили функцию как сложную:
, где , и применили теорему о пределе сложной функции.

Полагая a = e , имеем:
.
Следствие 2) доказано.

Читайте также:  Запустить безопасный режим windows 10 через биос

3) Докажем, что .
Выполняем преобразования.
.
Функция определена при . Логарифм непрерывен на своей области определения. Применяем доказанное выше следствие 1 и теорему о пределе непрерывной функции от функции:
.
Также здесь мы воспользовались свойством логарифма: .

Подставляя a = e , получаем:
.

Докажем, что .
Для этого используем определения гиперболических функций и предыдущий предел.
;
.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 30-03-2019 Изменено: 02-05-2019

Часто в контрольных работах нужно вычислить пределы с логарифмами. Такие задачи можно решить двумя способами:

  1. С помощью следствия второго замечательного предела: $$ lim limits_ frac<ln(1+f(x))>= 1 ext <, если >f(x) o 0 $$
  2. С помощью свойства бесконечно малой эквивалентной функции: $$ ln(1+f(x)) sim f(x) ext <, если >f(x) o 0 $$

Оба метода решения допустимы к сдаче преподавателю на проверку. Выберите для себя самый удобный, который будете легко понимать

Метод 1: Воспользуемся следствием замечательного предела и приведем предел к виду похожему на него: $$ limlimits_ frac<ln(1+8x)> <2x>= limlimits_ frac<frac<ln(1+8x)><8x>cdot small 8x> <2x>= $$

Замечаем, что $ lim limits_ frac<ln(1+8x)> <8x>= 1 ext <, так как >8x o 0 $

Продолжаем решение с учетом замечания:

Метод 2: Используем свойство б.м.э. функции для преобразования натурального логарифма:

$$ ln(1+8x) sim 8x ext <, при >8x o 0 $$

Решаем с учетом вышеприведенной эквивалентности:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Пример 1
Вычислить предел с логарифмом: $ limlimits_ frac<ln(1+8x)> <2x>$
Решение
Ответ
$$ limlimits_ frac<ln(1+8x)> <2x>= 4 $$

Метод 1: Выполняем преобразование под следствие замечательного предела:

Видно, что $ limlimits_ frac<ln(1 + x^2-7x+10)> = 1 $ по след. замеч. предела. С учетом этого, продолжим вычислять интеграл:

Логарифм пропал. Решим квадратное уравнение в числителе и распишем его на множители:

Метод 2: Решение начнем с преобразования предела:

Так как $ x^2-7x+10 = 0 ext <при>x = 2 $ , то имеем:

$$ ln(1 + (x^2-7x+10)) sim x^2-7x+10 $$

С учетом эквивалентности продолжаем решать:

Выполним разложение многочлена второй степени на множители:

Обычно второй замечательный предел записывают в такой форме:

Число $e$, указанное в правой части равенства (1), является иррациональным. Приближённое значение этого числа таково: $eapprox<2<,>718281828459045>$. Если сделать замену $t=frac<1>$, то формулу (1) можно переписать в следующем виде:

Как и для первого замечательного предела, неважно, какое выражение стоит вместо переменной $x$ в формуле (1) или вместо переменной $t$ в формуле (2). Главное – выполнение двух условий:

  1. Основание степени (т.е. выражение в скобках формул (1) и (2)) должно стремиться к единице;
  2. Показатель степени (т.е. $x$ в формуле (1) или $frac<1>$ в формуле (2)) должен стремиться к бесконечности.

Говорят, что второй замечательный предел раскрывает неопределенность $1^infty$. Заметьте, что в формуле (1) мы не уточняем, о какой именно бесконечности ($+infty$ или $-infty$) идёт речь. В любом из этих случаев формула (1) верна. В формуле (2) переменная $t$ может стремиться к нулю как слева, так и справа.

Отмечу, что есть также несколько полезных следствий из второго замечательного предела. Примеры на использование второго замечательного предела, равно как и следствий из него, очень популярны у составителей стандартных типовых расчётов и контрольных работ.

Сразу отметим, что основание степени (т.е. $frac<3x+1><3x-5>$) стремится к единице:

При этом показатель степени (выражение $4x+7$) стремится к бесконечности, т.е. $lim_(4x+7)=infty$.

Основание степени стремится к единице, показатель степени – к бесконечности, т.е. мы имеем дело с неопределенностью $1^infty$. Применим формулу (1) для раскрытия этой неопределённости. В основании степени формулы (1) расположено выражение $1+frac<1>$, а в рассматриваемом нами примере основание степени таково: $frac<3x+1><3x-5>$. Посему первым действием станет формальная подгонка выражения $frac<3x+1><3x-5>$ под вид $1+frac<1>$. Для начала прибавим и вычтем единицу:

Следует учесть, что просто так добавить единицу нельзя. Если мы вынуждены добавить единицу, то её же нужно и вычесть, дабы не изменять значения всего выражения. Для продолжения решения учтём, что

Продолжим «подгонку». В выражении $1+frac<1>$ формулы (1) в числителе дроби находится 1, а в нашем выражении $1+frac<6><3x-5>$ в числителе находится $6$. Чтобы получить $1$ в числителе, опустим $6$ в знаменатель с помощью следующего преобразования:

Итак, основание степени, т.е. $1+frac<1><frac<3x-5><6>>$, подогнано под вид $1+frac<1>$, который требуется в формуле (1). Теперь начнём работать с показателем степени. Заметьте, что в формуле (1) выражения, стоящие в показатели степени и в знаменателе, одинаковы:

Значит, и в нашем примере показатель степени и знаменатель нужно привести к одинаковой форме. Чтобы получить в показателе степени выражение $frac<3x-5><6>$, просто домножим показатель степени на эту дробь. Естественно, что для компенсации такого домножения, придется тут же домножить на обратную дробь, т.е. на $frac<6><3x-5>$. Итак, имеем:

Отдельно рассмотрим предел дроби $frac<6cdot(4x+7)><3x-5>$, расположенной в степени:

Согласно формуле (1) имеем $lim_left(1+frac<1><frac<3x-5><6>>
ight )^<frac<3x-5><6>>=e$. Кроме того, $lim_frac<6cdot(4x+7)><3x-5>=8$, поэтому возвращаясь к исходному пределу, получим:

Полное решение без промежуточных пояснений будет иметь такой вид:

Кстати сказать, вовсе не обязательно использовать первую формулу. Если учесть, что $frac<6><3x-5> o<0>$ при $x oinfty$, то применяя формулу (2), получим:

Выражение, стоящее в основании степени, т.е. $7-6x$, стремится к единице при условии $x o<1>$, т.е. $lim_<1>>(7-6x)=7-6cdot1=1$. Для показателя степени, т.е. $frac<3x-3>$, получаем: $lim_<1>>frac<3x-3>=infty$. Итак, здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $1^infty$, которую раскроем с помощью второго замечательного предела.

Для начала отметим, что в формуле (1) переменная $x$ стремится к бесконечности, в формуле (2) переменная $t$ стремится к нулю. В нашем случае $x o<1>$, поэтому имеет смысл ввести новую переменную, чтобы она стремилась или к нулю (тогда применим формулу (2)), или к бесконечности (тогда применим формулу (1)). Введение новой переменной, вообще говоря, не является обязательным, это будет сделано просто для удобства решения. Проще всего новую переменную $y$ ввести так: $y=x-1$. Так как $x o<1>$, то $ o<0>$, т.е. $y o<0>$. Подставляя $x=y+1$ в рассматриваемый пример, и учитывая $y o<0>$, получим:

Применим формулу (2). Выражение в основании степени в формуле (2), т.е. $1+t$, соответствует форме выражения в основании степени нашего примера, т.е. $1+(-6y)$ (выражение $-6y$ играет роль $t$). Формула (2) предполагает, что показатель степени будет иметь вид $frac<1>$, т.е. в нашем случае в показателе степени следует получить $frac<1><-6y>$. Домножим показатель степени на выражение $frac<1><-6y>$. Для компенсации такого домножения нужно домножить показатель степени на обратную дробь, т.е. на выражение $frac<-6y><1>=-6y$:

Полное решение без пояснений таково:

Так как $lim_<0>>(cos<2x>)=1$ и $lim_<0>>frac<1><sin^2<3x>>=infty$ (напомню, что $sin o<0>$ при $u o<0>$), то мы имеем дело с неопределённостью вида $1^infty$. Преобразования, аналогичные рассмотренным в примерах №1 и №2, укажем без подробных пояснений, ибо они были даны ранее:

Так как $sin^2x=frac<1-cos<2x>><2>$, то $cos<2x>-1=-2sin^2x$, поэтому:

Здесь мы учли, что $lim_<0>>frac<sin^2><sin^2<3x>>=frac<1><9>$. Подробное описание того, как находить этот предел, дано в соответствующей теме.

Так как при $x>0$ имеем $ln(x+1)-ln=lnleft(frac
ight)$, то:

Раскладывая дробь $frac$ на сумму дробей $frac=1+frac<1>$ получим:

Так как $lim_<2>>(3x-5)=6-5=1$ и $lim_<2>>frac<2x>=infty$, то мы имеем дело с неопределенностью вида $1^infty$. Подробные пояснения даны в примере №2, здесь же ограничимся кратким решением. Сделав замену $t=x-2$, получим:

Можно решить данный пример и по-иному, используя замену: $t=frac<1>$. Разумеется, ответ будет тем же:

Выясним, к чему стремится выражение $frac<2x^2+3><2x^2-4>$ при условии $x oinfty$:

Таким образом, в заданном пределе мы имеем дело с неопределенностью вида $1^infty$, которую раскроем с помощью второго замечательного предела:

Пример 2
Найти предел $ limlimits_ frac<ln(x^2-7x+11)> $
Решение
Ссылка на основную публикацию
Adblock detector