Общая постановка задачи примерно* следующая:

В ящике находится $K$ стандартных и $N-K$ бракованных деталей (всего $N$ деталей). Наудачу и без возвращения вынимают $n$ деталей. Найти вероятность того, что будет выбрано ровно $k$ стандартных и $n-k$ бракованных деталей.

*Поясню, что значит "примерно": вместо деталей могут фигурировать изделия, болты, телевизоры и т.п.; детали могут быть стандартными и бракованными, или годными и дефектными, или обычными и поломанными и так далее. Главное, чтобы они были ДВУХ типов, тогда один тип вы считаете условно "стандартными", второй — "бракованными" и используете формулу для решения, которую мы выведем ниже.

Сначала найдем общее число исходов — это число всех различных способов выбрать любые $n$ деталей из общего множества в $N$ деталей (без учета порядка), то есть число сочетаний $C_N^n$ (см. подробнее про сочетания).

Теперь найдем число всех способов выбрать $k$ стандартных деталей из $K$ возможных — это сочетания $C_K^k$, и одновременно число всех способов выбрать $n-k$ бракованных деталей из $N-K$ возможных — $C_^$. По правилу произведения перемножая эти числа, получим число исходов, благоприятствующих нашему событию — $C_K^k cdot C_^$.

Применяя классическое определение вероятности — поделив число благоприятствующих исходов на общее число исходов, придем к искомой формуле:

Видеоурок и шаблон Excel

Посмотрите наш ролик о решении задач про детали в схеме гипергеометрической вероятности, узнайте, как использовать Excel для решения типовых задач.

Расчетный файл Эксель из видео можно бесплатно скачать и использовать для решения своих задач.

Примеры решений задач о выборе деталей/изделий

Пример 1. В партии из 12 изделий 5 изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад 4 изделий 2 изделия являются дефектными?

Популярная задача из методички, в которой меняются только цифры, а вариантов множество. С помощью данного решения и калькулятора ниже для числовых расчетов, вы легко получите полное решение задачи. Для разнообразия сделаем подробное пояснение.

Начинаем решение задачи с ввода события $A = $ (Из взятых наугад 4 изделий 2 изделия являются дефектными) и общей формулы для нахождения вероятности. Так как речь идет о выборе объектов из совокупности, используем классическое определение вероятности $P(A)=m/n$, где $n$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.

Сначала найдем общее число исходов — это число способов выбрать любые 4 изделия из партии в 12 изделий. Так как порядок выбора несущественнен, применяем формулу для числа сочетаний из 12 объектов по 4: $n=C_<12>^4$.

Теперь переходим к числу благоприятствующих событию исходов. Для этого нужно, чтобы из 4 выбранных изделий 2 были дефектные (выбираем любые 2 дефектные изделия из 5 $C_5^2$ способами) и еще 2 — стандартные (выбираем любые 2 стандартные изделия из 12-5=7 имеющихся в партии $C_7^2$ способами). Тогда всего способов выбрать 2 дефектных и 2 обычных изделия из партии будет $m = C_5^2 cdot C_7^2$.

Нужная вероятность равна:

Пример 2. В ящике 16 стандартных и 7 бракованных деталей. Наудачу извлечены 6 деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных ровно 4 стандартных детали.

Подставляем в формулу (1) значения: $K=16$ стандартных деталей, $N-K=7$ бракованных деталей, итого $N=16+7=23$ всего деталей в ящике. Из ящика извлекают $n=6$ деталей, из них должно быть $k=4$ стандартных и соответственно, $n-k=6-4=2$ бракованные. Получаем нужную вероятность:

Пример 3. В партии из 12 изделий 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди 3 наугад взятых есть хотя бы одно нестандартное.

Эта задача самую малость сложнее предыдущих. В ней помимо исходного события
$A = $ (Среди 3 наугад взятых изделий есть хотя бы одно нестандартное),
введем еще противоположное ему событие, которое можно записать как
$overline = $ (Все три выбранные изделия стандартные).

Тогда вероятность искомого события (что будет хотя бы одно нестандартное изделие из 3), равна:

Пример 4. Мастер для замены получил 8 однотипных деталей, из которых 3 бракованные. Он заменил 2 детали. Найти вероятность того, что замененными оказались годные детали.

Подставляем в формулу (1) значения: $K=8-3=5$ годных деталей, $N-K=3$ бракованных, $N=8$ всего деталей у мастера. Выбираем для замены $n=2$ детали, и обе они должны оказаться годными, то есть: $k=2$, $n-k=0$. Приходим к ответу:

Общее число случаев n=(С из 20 по 5)=20!/(5!•15!)=15504.
Благоприятное число случаев – 0 или 1 бракованные –
m=(С из 16 по 5)+(С из 16 по 4)•(С из 4 по 1)=
=16!/(5!•11!)+16!/(4!•12!)•4=11648.
Тогда искомая вероятность будет равна Р=m/n=11648/15504≈0,75.

Задание 1. В партии из N=15 изделий n=4 имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад m=3 изделий k=2 изделий являются дефектными?

Пусть событие А – " из взятых наугад m=3 изделий k=2 изделий являются дефектными ".

Общее число исходов испытания равно числу способов, которыми можно выбрать 3 изделия из 15, т.е. числу сочетаний из 15 элементов по 3 (порядок в данном случае не имеет значения).

Определим число исходов, благоприятствующих событию А.

2 дефектных изделия из 4 можно выбрать . способами; 3-е изделие – не дефектное – можно выбрать из 11 (15-4=11) не дефектных 11-ю способами. По правилу произведения

Искомая вероятность равна

Р(А) =

Задание 2.В магазине выставлены для продажи n=12 изделий, среди которых k =4 изделий некачественные. Какова вероятность того, что взятые случайным образом m =3 изделий будут некачественными?

Пусть событие А – " взятые случайным образом 3 изделия будут некачественными".

Вероятность взять 1-е некачественное изделие равна 4/12, 2-е – 3/11,

3-е – 2/10. Тогда вероятность искомого события равна:

Р(А)= =0,0182.

Задание 3.На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве: n1 =10 с первого завода, n2=20 со второго, n3 =20 с третьего. Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе p1=0,9, на втором p2=0,8, на третьем p3=0,6. Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие будет качественным?

Можно сделать следующие предположения:

Н1 – изделие поступило с 1-го завода;

Н2 — изделие поступило с 2-го завода;

Н3 — изделие поступило с 3-го завода.

Вероятности гипотез равны:

Р(Н1)=

Р(Н2)= Р(Н3)=

Условные вероятности равны

По формуле полной вероятности имеем:

Р(А) = Р(Н1)* Р(А/Н1)+ Р(Н2)* Р(А/Н2)+ Р(Н3)* Р(А/Н3) = .

Задание 4.Дано распределение дискретной случайной величины Х. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

хi -8 -2
pi 0,1 0,3 0,4 0,2

Найдем математическое ожидание М (Х):

M(X) = = -8*0,1 — 2*0,3 + 1*0,4 +3*0,2= -0,4.

Найдем математическое ожидание

M(X 2 ) = :

M(X 2 ) = (-8) 2 *0,1+( — 2) 2 *0,3 + 1 2 *0,4 +3 2 *0,2= 9,8.

D(X) = М (Х 2 )-(М(Х)) 2 = 9,8 – (-0,4) 2 = 9,64.

Среднее квадратическое отклонение

.

Ответ: M(X) =-0,4; 3,1.

Задание 5.В городе имеются N =4 оптовых баз. Вероятность того, что требуемого сорта товар отсутствует на этих базах одинакова и равна p=0,1 Составить закон распределения числа баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент.

Пусть событие A – товар отсутствует на базе. Т.к. испытания независимы, воспользуемся формулой Бернулли:

Pn(k)=

Здесь P(A) = p = 0.1; q= 1- p = 1- 0.1= 0.9; число испытаний n = 4; Возможные значения случайной величины: 0, 1, 2, 3,4.

Найдем соответствующие вероятности:

=0,6561.

=0,2916.

= 0,0486.

= 0,0036.

= 0,0001.

Контроль: 0,6561+0,2916+0,0486+0,0036+0,0001= 1,0.

Составим ряд распределения.

Xi
Pi 0,6561 0,2916 0,0486 0,0036 0,0001

Задание 6.Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение. Ее математическое ожидание равно Mx =18, среднее квадратичное отклонение равно Ϭx =1. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале а=16, b=21.

Найдем вероятность попадания в интервал по формуле

Найдем законы распределения составляющих Х и Y

Сложив вероятности по столбцам, получим вероятности возможных значений X: P(2) = 0.06+0.12= 0.18; P(3) = 0.18+0.13 = 0.31; P(5) = =0.24+0.27=0.51.

Напишем закон распределения X:

X
P 0.18 0.31 0.51

Сложив вероятности по строкам, аналогично получим закон распределения Y

Y
P 0.48 0.52

3) Найдем числовые характеристики случайных величин X и Y.

Математическое ожидание M(X) = = 2∙0,18 +3∙0,31+5∙0,51=3,84.

Дисперсия D(X) = М(X 2 )-(М(X)) 2

М(X 2 )= = 2 2 ∙0,18+3 2 ∙0,31+5 2 ∙0,52 = 16,26.

D(X) = 16.26 -(3,84) 2 =1,5144.

Среднеквадратическое отклонение = .

= 4∙0,48+6∙0,52=5,04.

= 4 2 ∙0,48+6 2 ∙0,52= 26,4.

D(Y) = 26,4 -(5,04) 2 =0,9984.

= .

Найдем коэффициент корреляции r по формуле

,

Найдем = 0,06∙2∙4+0,12∙2∙6+0,18∙3∙4+0,13∙3∙6+0,24∙5∙4+

= 0,3-1,2∙0,2=0,3-0,24=0,06.

Коэффициент корреляции равен

.

Коэффициент корреляции показывает, что связь между переменными слабая и обратная, т.е. у убывает с возрастанием х.

. Уравнения парной линейной регрессии имеет вид:

Подставим значения входящих в уравнение величин.

После упрощений получим уравнение регрессии

.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Только сон приблежает студента к концу лекции. А чужой храп его отдаляет. 8829 — | 7539 — или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно