Изобразите на декартовой плоскости следующие множества

Запишем с пом. цифр 3 и 5 че­тыре двузначных числа: 35, 53, 33 и 55. Несмотря на то что числа 35 и 53 записаны с помощью одних и тех же цифр, эти числа различные. В том случае, когда важен порядок следова­ния элементов, в математике говорят об упорядоченных на­борах элементов. В рассмотренном примере мы имели дело с упорядоченными парами.

Упорядоченную пару, образованную из элементов а и Ь, принято записывать, используя круглые скобки: <а; Ь). Эле­мент а называют первой координатой (компонентой) пары, а элемент b второй координатой (компонентой) пары.

Определение. Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех пар, первая компонента ко­торых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.

Декартово произведение множеств А и В обозначают А х В. Используя это обозначение, определение декартова произведе­ния можно записать так:

АхВ= <(х; у) | х А и у В>.

Операцию нахождения декартова произведения множеств называют декартовым умножением.

Рассмотрим два одинаковых мн-ва А=<3,5>, тогда АхА=

Можно изобразить декартово произведение множеств :

1) при помощи графа или таблицы. Например, декартово произведение множеств А = <1, 2, 3>и В = <3,5>можно представить так, как показано на рисунке :

2) Декартово произведение двух числовых множеств (конеч­ных и бесконечных) :

А) А = <1, 2, 3>и В= <3, 5>на координатной плоскости будет выглядеть так, как показано на рисунке:

Заметим, что элементы множест­ва А мы изобразили на оси Ох, а элементы множества В – на оси Оу.

Декартово произведение представлено точками.

Решение, а) Так как множество А состоит из трех элемен­тов, а множество В содержит все действительные числа от 3 до 5, включая и сами эти числа, то декар­тово произведение А х В будет со­стоять из бесконечного множества пар, первая компонента которых либо 1, либо 2, либо 3, а вторая -любое действительное число из про­межутка [3, 5]. Такое множество пар действительных чисел на коорди­натной плоскости изобразится тремя отрезками

Читайте также:  Как быстро отключить интернет на windows 10

В) бесконечны оба множества А=[1, 3] и В=[3, 5] тогда АхВ это все, что внутри квадрата, т.е. этот квадрат (его нужно заштриховать):

Г) А=RиВ=R,т.е. на мн-ве действительных чисел. То АхВ это вся координатная плоскость.

Д) А=R и В=[3, 5], то АхВ– полоса. (рис.)

Упражнения

1. Перечислите элементы декартова произведения А хВ, если:

2.Изобразите в прямоугольной системе координат мно­жество Ах В, если:

2. Изобразите в прямоугольной системе координат декартово произведение множеств и , если

1)

2)

Введение в теорию множеств и комбинаторику

Практическая работа № 4. Декартовые произведения двух множеств

Вопросы к работе

1. Что такое «упорядоченная пара элементов»?

2. Что такое «декартовое произведение множеств А и B »?

3. Сколько элементов содержится в декартовом произведении А В , если | А | = n ,| B | = m ?

4. Можно ли менять местами компоненты пары, входящей в А В ?

5. Верно ли, что А В = В А ?

6. Что такое А 2 ?

7. Какова длина множества А 2 , если | А | = n ?

Образцы решения задач

Пример 1. Найдите A B , если А = <1; 2>, В = <1; 2; 3>.

Решение. А В = <(1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 2), (2; 3)>.

Пример 2. Найдите А 2 , если A = <1; 2>.

Решение. A 2 = A A = <(1; 1), (1; 2), (2; 1), (2; 2)>.

Пример 3. Запишите множество дробей K , числителем которых являются числа из множества A = <1; 2>, а знаменателем – числа из множества B = <3; 5>.

Решение. K = .

Пример 4. Изобразите на декартовой плоскости множество

M = [1; 2] ]-1; 1].

Решение. Каждый элемент множества М представляет собой упорядоченную пару = ( x; y ), где x [1; 2], y ]–1; 1], изображаемую на декартовой плоскости точкой A ( x , y ). Значит множество М на декартовой плоскости представляет собой множество точек, первая координата которых берется из [1; 2], а вторая – из ] –1; 1]. Тогда множество M можно представить как пересечение множеств M 1 – точек, у которых первая координата x [1; 2], и множеств M 2 – точек, у которых вторая координата y ]–1; 1].

Читайте также:  Бронза в самогонном аппарате

Пример 5. Докажите, что при любых множествах A , B , C (непустых): ( А В ) С = ( А С ) ( В С ).

Решение. Обозначим ( А В ) С = М 1 ( А С ) ( В С ) = М 2 .

Следовательно, нам надо доказать, что М 1 = М 2 .

Итак, мы доказали, что M 1 = M 2 , т. е. ( А В ) С = ( А С ) ( В С ).

1. Дано уравнение 2 х – у = 3. Запишите несколько решений данного уравнения. Что представляет собой каждое решение? Является ли пара (4;5) решением данного уравнения?

2. Запишите множество дробей, числителем которых являются числа из множества A = <4; 5>, а знаменателем – числа из множества B = <3; 7; 9>.

3. Составьте A B и A B , если

4. 3апишите различные двузначные числа, используя цифры 1, 2, 3, 4. Сколько среди них таких, запись которых начинается с цифры 3? Переформулируйте эту задачу, используя понятие декартова произведения множеств.

5. Изобразите на декартовой плоскости следующие множества:

1) [0; 1] [0; 1]; 4) [0; 1] [2; + [;

2) [-1; 1] [2; 3]; 5) [1; 2] ]- ; + [;

3) [0; 1] ]- ; 3]; 6) [0; 2] <2; 3>.

6. Доказать, что при любых множествах А, В, С :

1) ( А В ) C = ( А С ) ( В С );

2) ( А В ) С = ( А С ) ( В С ).

7. Докажите, что для любых множеств А, В, С, D верно:

( А В ) ( С D ) = ( А С ) ( В D ).

Верно ли аналогичное равенство для объединения множеств?

1. Проверьте равенство множеств, если A , B , C – непустые множества:

1) ( А В ) С = ( А С ) ( );

2) А ( В С ) = ( А В ) ( );

3) ( А В ) С = ( А С ) ;

4) А С) = (А В) ( );

5 ) (А В) С = (А С) ;

Читайте также:  В какой стране находится офис гугл

6) А С) = (А В) ;

7) (А В) С = (В С) ;

8) А С) = (А С) ;

9) С = ;

10) А ) = (А В) (А С) .

Задание для самоконтроля

1. Даны множества A = < а ; b >и B = < с; d >. Является ли множество C декартовым произведением множеств А и В , если

2. Даны множества A = < а; b; c >, В = < m; n >, С = < x; y;, z >.

Записать множества (А В) C и B С ).

Выясните, какие из следующих высказываний истинны, а какие ложны:

1) (( а; m ); x ) ( А В) С;

2) ( b; ( m ; x )) В С) ;

3) ( A B ) С = В ( А С ).

ID: 401844

Да знакомо, на к сожалению не совсем понятно

Гордиенко Андрей Владимирович
Профессионал

ID: 17387

Запишите, пожалуйста, это определение здесь и сообщите, что в нём Вам непонятно.

sheshinaanna519
Посетитель

ID: 401844

С этим я разбиралась, а как быть с выражением где имеется бесконечность, как она изображается? И в чем отличие круглых скобок от квадратных?

Гордиенко Андрей Владимирович
Профессионал

ID: 17387

Бесконечность не может быть изображена, но её можно вообразить. В частности, множество в данном случае — это множество всех точек оси абсцисс, расположенных левее точки Правая круглая скобка показывает, что точка множеству не принадлежит. Левая круглая скобка использована потому, что — это не число в собственном смысле, а символ. Ему не соответствует никакая конкретная точка. Известно только, что она расположена левее любого действительного числа, расположенного на горизонтальной числовой оси с положительным направлением вправо.

Каким учебником Вы пользуетесь?

sheshinaanna519
Посетитель

ID: 401844

Виленкина Н.Я. и лекциями которые отправляет преподаватель

Гордиенко Андрей Владимирович
Профессионал

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector