Интеграл от косинуса в 4 степени

Подынтегральное выражение можно преобразовать из произведения тригонометрических функций в сумму

Рассмотрим интегралы, в которых подынтегральная функция представляет собой произведение синусов и косинусов первой степени от икса, умноженного на разные множители, то есть интегралы вида

(1)

Воспользовавшись известными тригонометрическими формулами

(2)
(3)
(4)
можно преобразовать каждое из произведений в интегралах вида (31) в алгебраическую сумму и проинтегрировать по формулам

(5)

(6)

Решение. По формуле (2) при

Применяя далее формулу (5), получим

Решение. По формуле (3) при получаем следующее преобразование подынтегрального выражения:

Применяя далее формулу (6), получим

Решение. По формуле (4) при получаем следующее преобразование подынтегрального выражения:

Применяя формулу (6), получим

Интеграл произведения степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента

Рассмотрим теперь интегралы от функций, представляющих собой произведение степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента, т.е.

(7)

В частных случаях один из показателей (m или n) может равняться нулю.

При интегрировании таких функций используется то, что чётную степень косинуса можно выразить через синус, а дифференциал синуса равен cos x dx (или чётную степень синуса можно выразить через косинус, а дифференциал косинуса равен – sin x dx ) .

Следует различать два случая: 1) хотя бы один из показателей m и n нечётный; 2) оба показателя чётные.

Пусть имеет место первый случай, а именно показатель n = 2k + 1 – нечётный. Тогда, учитывая, что

Подынтегральное выражение представлено в таком виде, что одна его часть – функция только синуса, а другая – дифференциал синуса. Теперь с помощью замены переменной t = sin x решение сводится к интегрированию многочлена относительно t. Если же только степень m нечётна, то поступают аналогично, выделяя множитель sinx, выражая остальную часть подынтегральной функции через cos x и полагая t = cos x . Этот приём можно использовать и при интегрировании частного степеней синуса и косинуса, когда хотя бы один из показателей – нечётный. Всё дело в том, что частное степеней синуса и косинуса – это частный случай их произведения: когда тригонометрическая функция находится в знаменателе подынтегрального выражения, её степень – отрицательная. Но бывают и случаи частного тригонометрических функций, когда их степени – только чётные. О них – следующем абзаце.

Если же оба показателя m и n – чётные, то, используя тригонометрические формулы

Читайте также:  Игра где останавливается время

понижают показатели степени синуса и косинуса, после чего получится интеграл того же типа, что и выше. Поэтому интегрирование следует продолжать по той же схеме. Если же один из чётных показателей – отрицательный, то есть рассматривается частное чётных степеней синуса и косинуса, то данная схема не годится. Тогда используется замена переменной в зависимости от того, как можно преобразовать подынтегральное выражение. Такой случай будет рассмотрен в следующем параграфе.

Пример 4. Найти интеграл от тригонометрической функции

Решение. Показатель степени косинуса – нечётный. Поэтому представим

и произведём замену переменной t = sin x (тогда dt = cos x dx ). Тогда получим

Возвращаясь к старой переменной, окончательно найдём

Пример 5. Найти интеграл от тригонометрической функции

.

Решение. Показатель степени косинуса, как и в предыдущем примере – нечётный, но больше. Представим

и произведём замену переменной t = sin x (тогда dt = cos x dx ). Тогда получим

и получим

Возвращаясь к старой переменной, получаем решение

Пример 6. Найти интеграл от тригонометрической функции

Решение. Показатели степени синуса и косинуса – чётные. Поэтому преобразуем подынтегральную функцию так:

Во втором интеграле произведём замену переменной, полагая t = sin2x . Тогда (1/2)dt = cos2x dx . Следовательно,

Найти интеграл от тригонометрической функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 7. Найти интеграл от тригонометрической функции

.

Использование метода замены переменой

Метод замены переменной при интегировании тригонометрических функций можно применять в случаях, когда в подынтегральном выражении присутствует только синус или только косинус, произведение синуса и косинуса, в котором или синус или косинус – в первой степени, тангенс или котангенс, а также частное чётных степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента. При этом можно производить перестановки не только sinx = t и sinx = t , но и tgx = t и ctgx = t .

Пример 8. Найти интеграл от тригонометрической функции

.

Решение. Произведём замену переменной: , тогда . Получившееся подынтегральное выражение легко интегрируется по таблице интегралов:

.

Возвращаясь к первоначальной переменной, окончательно получаем:

Пример 9. Найти интеграл от тригонометрической функции

.

Решение. Преобразуем тангенс в отношение синуса и косинуса:

.

Произведём замену переменной: , тогда . Получившееся подынтегральное выражение представляет собой табличный интеграл со знаком минус:

.

Возвращаясь к первоначальной переменной, окончательно получаем:

.

Пример 10. Найти интеграл от тригонометрической функции

.

Решение. Произведём замену переменной: , тогда .

Преобразуем подынтегральное выражение, чтобы применить тригонометрическое тождество :

Производим замену переменной, не забывая перед интегралом поставить знак минус (смотрите выше, чему равно dt ). Далее раскладываем подынтегральное выражение на множители и интегрируем по таблице:

.

Возвращаясь к первоначальной переменной, окончательно получаем:

Читайте также:  Войти в чужую почту яндекс через пароль

.

Найти интеграл от тригонометрической функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 11. Найти интеграл от тригонометрической функции

.

Универсальная тригонометрическая подстановка

Универсальную тригонометрическую подстановку можно применять в случаях, когда подынтегральное выражение не подпадает под случаи, разобранные в предыдущих параграфах. В основном, когда синус или косинус (или и то, и другое) находятся в знаменателе дроби. Доказано, что синус и косинус можно заменить другим выражением, содержащим тангенс половины исходного угла следующим образом:

где .

Тогда .

Но заметим, что универсальная тригонометрическая подстановка часто влечёт за собой довольно сложные алгебраические преобразования, поэтому её лучше применять, когда никакой другой метод не работает. Разберём примеры, когда вместе с универсальной тригонометрической подстановкой используются подведение под знак дифференциала и метод неопределённых коэффициентов.

Пример 12. Найти интеграл от тригонометрической функции

.

Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда
.

Дроби в числителе и знаменателе умножаем на , а двойку выносим и ставим перед знаком интеграла. Тогда

Чтобы в результате преобразований прийти к табличному интегралу, попытаемся получить в знаменателе полный квадрат. Для этого умножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на 2. Применяем интегрирование подведением под знак дифференциала. Получим

К полученному результату преобразований можем теперь применить табличный интеграл 21. В результате получаем окончательное решение:

.

Пример 13. Найти интеграл от тригонометрической функции

.

Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда
.

Дроби в числителе и знаменателе умножаем на , а двойку выносим и ставим перед знаком интеграла. Тогда

.

Чтобы в результате преобразований прийти к табличному интегралу, попытаемся получить в знаменателе полный квадрат. Для этого умножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на 3. Применяем интегрирование подведением под знак дифференциала. Получим

К полученному результату преобразований можем теперь применить табличный интеграл 21. В результате получаем окончательное решение:

.

Пример 14. Найти интеграл от тригонометрической функции

.

Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда

Используем метод неопределённых коэффициентов. Получим следующее подынтегральное выражение:

Чтобы найти коэффициенты, решим систему уравнений:

Используем подведение под знак дифференциала:

К последнему слагаемому применяем замену переменной , тогда . Получаем:

Преобразуем и вернём на место первоначальную переменную и окончательно получим решение:

Решение

Перепишите подынтегральное выражение:

Перепишите подынтегральное выражение:

Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

Перепишите подынтегральное выражение:

Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

Тогда пусть и подставим :

Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

Интеграл от косинуса есть синус:

Читайте также:  Изу 1м 100 400 схема подключения

Таким образом, результат будет:

Если сейчас заменить ещё в:

Таким образом, результат будет:

Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

Таким образом, результат будет:

Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

Тогда пусть и подставим :

Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

Интеграл от косинуса есть синус:

Таким образом, результат будет:

Если сейчас заменить ещё в:

Таким образом, результат будет:

Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

В данном разделе мы рассмотрим (8) специальных классов интегралов от тригонометрических функций. Для каждого класса применяются определенные преобразования и подстановки, позволяющие получить аналитическое решение.

Если степень косинуса (n) – нечетная (при этом степень синуса (m) может быть любой), то используется подстановка (u = sin x;)

Если степень синуса (m) – нечетная, то используется подстановка (u = cos x;)

Если степени (m) и (n) – четные, то сначала применяются формулы двойного угла [ <sin 2x = 2sin xcos x,>;; <cos 2x = <cos^2>x – <sin ^2>x > = <1 – 2,<sin ^2>x > = <2,<cos ^2>x – 1,> ] чтобы понизить степень синуса или косинуса в подынтегральном выражении. Затем, если необходимо, применяются правила a) или b).

Если степень секанса (n) – четная, то c помощью соотношения (1 + < an ^2>x = <sec ^2>x) секанс выражается через тангенс. При этом множитель (<sec ^2>x) отделяется и используется для преобразования дифференциала. В результате весь интеграл (включая дифференциал) выражается через функцию ( an x.)

Если обе степени (n) и (m) – нечетные, то отделяется множитель (sec x an x,) необходимый для преобразования дифференциала. Далее весь интеграл выражается через (sec x.)

Если степень секанса (n) – нечетная, а степень тангенса (m) – четная, то тангенс выражается через секанс с помощью формулы (1 + < an ^2>x = <sec ^2>x.) Затем вычисляются интегралы от секанса.

Если степень косеканса (n) – четная, то c помощью соотношения (1 + <cot^2>x = <csc ^2>x) косеканс выражается через котангенс. При этом множитель (<csc^2>x) отделяется и используется для преобразования дифференциала. В результате подынтегральная функция и дифференциал выражаются через (cot x.)

Если обе степени (n) и (m) – нечетные, то отделяется множитель (cot x csc x,) необходимый для преобразования дифференциала. Далее интеграл выражается через (csc x.)

Если степень косеканса (n) – нечетная, а степень котангенса (m) – четная, то котангенс выражается через косеканс с помощью формулы (1 + <cot^2>x = <csc ^2>x.) Затем вычисляются интегралы от косеканса.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector