Интеграл котангенса в квадрате

Интеграл от ctg в квадрате

Автор Константин Фёдоров задал вопрос в разделе ВУЗы, Колледжи

Какой интеграл у ctg^2x (котангенс в квадрате х) ? и получил лучший ответ

Ответ от Марина Васильевна[гуру]
Поскольку ctg ²x=1/sin²x-1, то INT(ctg ²xdx)=INT(1/sin²x)-1)dx)=INT(dx/sin ²x)-INT(dx)= -ctgx-x+C. INT-интеграл.

Интеграл от синуса
(largeint
ormalsize <sin x,dx>= – cos x + C)

Интеграл от косинуса
(largeint
ormalsize <cos x,dx>= sin x + C)

Интеграл от синуса в квадрате
(largeint
ormalsize <<<sin >^2>x,dx> = largefrac<2>
ormalsize – largefrac<1><4>
ormalsize sin <2x>+ C)

Интеграл от косинуса в квадрате
(largeint
ormalsize <<<cos >^2>x,dx> = largefrac<2>
ormalsize + largefrac<1><4>
ormalsize sin <2x>+ C)

Интеграл от синуса в кубе
(largeint
ormalsize <<<sin >^3>x,dx> = largefrac<1><3>
ormalsize<cos ^3>x – cos x + C = largefrac<1><<12>>
ormalsizecos <3x>- largefrac<3><4>
ormalsize cos x + C)

Интеграл от косинуса в кубе
(largeint
ormalsize <<<cos >^3>x,dx> = sin x – largefrac<1><3>
ormalsize<sin ^3>x + C = largefrac<1><<12>>
ormalsizesin <3x>+ largefrac<3><4>
ormalsize sin x + C)

Интеграл от секанса
(largeint <frac<><<cos x>>>
ormalsize = largeint
ormalsize <sec x,dx>= ln left| < an left( <largefrac<2>
ormalsize + largefrac<pi ><4>
ormalsize>
ight)>
ight| + C)

Интеграл от косеканса
(largeint <frac<><<sin x>>>
ormalsize = largeint
ormalsize <csc x,dx>= ln left| < an <largefrac<2>
ormalsize>>
ight| + C)

Интеграл от секанса в квадрате
(largeint <frac<><<<<cos >^2>x>>>
ormalsize = largeint
ormalsize <<<sec >^2>x,dx> = an x + C)

Интеграл от косеканса в квадрате
(largeint <frac<><<<<sin >^2>x>>>
ormalsize = largeint
ormalsize <<<csc >^2>x,dx> = -cot x + C)

Интеграл от секанса в кубе
(largeint <frac<><<<<cos >^3>x>>>
ormalsize = largeint
ormalsize <<<sec >^3>xdx> = largefrac<<sin x>><<2<<cos >^2>x>>
ormalsize + largefrac<1><2>
ormalsizeln left| < an left( <largefrac<2>
ormalsize + largefrac<pi ><4>>
ormalsize
ight)>
ight| + C)

Интеграл от косеканса в кубе
(largeint <frac<><<<<sin >^3>x>>>
ormalsize = largeint
ormalsize <<<csc >^3>xdx> = -largefrac<<cos x>><<2<<sin >^2>x>>
ormalsize + largefrac<1><2>
ormalsizeln left| < an largefrac<2>
ormalsize>
ight| + C)

Интеграл от произведения синуса и косинуса
(largeint
ormalsize <sin xcos x,dx>= – largefrac<1><4>
ormalsizecos <2x>+ C)

Интеграл от произведения синуса в квадрате и косинуса
(largeint
ormalsize <<<sin >^2>xcos x ,dx> = largefrac<1><3>
ormalsize <sin^3>x + C)

Интеграл от произведения косинуса в квадрате и синуса
(largeint
ormalsize <<<cos >^2>xsin x ,dx> = -largefrac<1><3>
ormalsize <cos^3>x + C)

Интеграл от произведения квадратов синуса и косинуса
(largeint
ormalsize <<<sin >^2>x,<<cos >^2>x,dx> = largefrac<8>
ormalsize – largefrac<1><<32>>
ormalsize sin <4x>+ C)

Интеграл от тангенса
(largeint
ormalsize < an x,dx>= – ln left| <cos x>
ight| + C)

Читайте также:  Как в ноутбуке dell зайти в биос

(largeint
ormalsize <largefrac<<sin x>><<<<cos >^2>x>>
ormalsize dx> = largefrac<1><<cos x>>
ormalsize + C = sec x + C)

(largeint
ormalsize <largefrac<<<<sin >^2>x>><<cos x>>
ormalsize dx> = ln left| < an left( <largefrac<2>
ormalsize + largefrac<pi ><4>
ormalsize>
ight)>
ight| – sin x + C)

Интеграл от тангенса в квадрате
(largeint
ormalsize <<< an >^2>x,dx> = an x – x + C)

Интеграл от котангенса
(largeint
ormalsize <cot x,dx>= ln left| <sin x>
ight| + C)

(largeint
ormalsize <largefrac<<cos x>><<<<sin >^2>x>>
ormalsize dx> = – largefrac<1><<sin x>>
ormalsize + C = – csc x + C)

Интеграл от котангенса в квадрате
(largeint
ormalsize <<<cot >^2>x,dx> = – cot x – x + C)

(largeint
ormalsize <largefrac<><<<sin^2>xcos x>>
ormalsize> = – largefrac<1><<sin x>>
ormalsize + ln left| < an left( <largefrac<2>
ormalsize + largefrac<pi ><4>>
ormalsize
ight)>
ight| + C)

Это пример для самостоятельного решения. В образце решения дважды последовательно использована вышеупомянутая формула.

Если под степенью находится неразложимый на множители квадратный трехчлен, то решение сводится к двучлену путем выделения полного квадрата, например:

.

Далее следует «безболезненная» линейная замена и получается знакомый интеграл

.

Что делать, если дополнительно в числителе есть многочлен? В этом случае используется метод неопределенных коэффициентов, и подынтегральная функция раскладывается в сумму дробей. Если такой интеграл встретится, смотрите учебник – там всё просто.

Интегрирование сложных тригонометрических функций

На уроке Интегралы от тригонометрических функций мы разобрали интеграл от тангенса в квадрате. В том примере для нахождения интеграла мы применяли тригонометрическую формулу

.

Интеграл от тангенса в четвертой, пятой степени (редко в более высоких степенях) решается с помощью этой же формулы!

Пример 15 Найти неопределенный интеграл

.

Идея решения подобных интегралов состоит в том, чтобы с помощью формулы «развалить» исходный интеграл на несколько более простых интегралов:

(1) Готовим подынтегральную функцию к применению формулы.

(2) Для одного из множителей используем формулу

(3) Раскрываем скобки и сразу же используем свойство линейности неопределенного интеграла.

(4) В первом интеграле используем метод подведения функции под знак дифференциала , во втором интеграле еще раз используем формулу

, в данном случае .

(5) Берём все три интеграла и получаем ответ.

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения.

Для котангенса существует аналогичная формула:

. Полное решение и ответ в конце урока.

Если возникли затруднения или недопонимание, следует вернуться к уроку Интегралы от тригонометрических функций . На вышеупомянутом уроке мы рассматривали универсальную тригонометрическую подстановку для решения определенного вида интегралов от тригонометрических функций. Недостаток универсальной тригонометрической подстановки заключается в том, что при её применении часто возникают громоздкие интегралы с трудными вычислениями. И в ряде случаев универсальной тригонометрической подстановки можно избежать! Рассмотрим еще один канонический пример – интеграл от единицы, деленной на синус:

Читайте также:  Видно ли когда заходишь в инстаграм

Пример 17 Найти неопределенный интеграл

.

Здесь можно использовать универсальную тригонометрическую подстановку и получить ответ, но существует более рациональный путь. Приведём это решение с комментариями к каждому шагу:

(1) Используем тригонометрическую формулу синуса двойного угла

.

(2) Проводим искусственное преобразование: В знаменателе делим и умножаем на

.

(3) По известной формуле в знаменателе превращаем дробь в тангенс.

(4) Подводим функцию под знак дифференциала.

(5) Берём интеграл.

Пример 18 Найти неопределенный интеграл

.

Указание: Самым первым действием следует использовать формулу прив е дения

и аккуратно провести аналогичные предыдущему примеру действия.

Пример 19 Найти неопределенный интеграл

.

Ну, это совсем простой пример. Полные решения и ответы в конце урока.

Думаем, теперь ни у кого не возникнет проблем с интегралами:

и т.п.

В чём состоит идея метода? Идея состоит в том, чтобы с помощью тождественных преобразований и тригонометрических формул организовать в подынтегральной функции только тангенсы и производную тангенса

.

То есть, речь идет о замене:

.

В Примерах 17-19 мы фактически и применяли данную замену, но интегралы были настолько просты, что дело обошлось эквивалентным действием – подведением функции под знак дифференциала.

Примечание: аналогичные рассуждения можно провести и для котангенса.

Существует и формальное правило для применения вышеуказанной замены:

Если сумма степеней косинуса и синуса – целое отрицательное число, то интеграл можно свести к тангенсам и его производной .

Для интеграла – целое отрицательное число.

Для интеграла – целое отрицательное число.

Для интеграла – целое отрицательное число. Рассмотрим пару более содержательных примеров на это правило:

Пример 20 Найти неопределенный интеграл

.

Сумма степеней синуса и косинуса : 2 – 6 = –4 – целое отрицательное число, значит, интеграл можно свести к тангенсам и его производной:

(1) Преобразуем знаменатель.

(2) По известной формуле получаем .

(3) Преобразуем знаменатель.

(4) Используем формулу

(5) Подводим функцию под знак дифференциала.

(6) Проводим замену . Более опытные студенты замену могут и не проводить, но всетаки лучше заменить тангенс одной буквой – меньше риск запутаться.

Далее берётся простой интеграл и проводится обратная замена.

Читайте также:  Вопросы по теме powerpoint

Пример 21 Найти неопределенный интеграл

.

Это пример для самостоятельного решения.

Пример 22 Найти неопределенный интеграл

.

В этом интеграле изначально присутствует тангенс, что сразу наталкивает на уже знакомую мысль:

Пара творческих примеров для самостоятельного решения:

Пример 23 Найти неопределенный интеграл

.

Пример 24 Найти неопределенный интеграл

.

Да, в них, конечно, можно понизить степени синуса, косинуса, использовать универсальную тригонометрическую подстановку, но решение будет гораздо эффективнее и короче, если его провести через тангенсы. Полное решение и ответы в конце урока.

Переходим к заключительному пункту путешествия в мир сложных интегралов:

Интеграл от корня из дроби

Интеграл, который мы рассмотрим, встречается достаточно редко, но я буду очень рад, если единственный пример данного параграфа вам поможет.

Корнями всё начиналось, корнями и закончится. Рассмотрим неопределенный интеграл:

, где a , b , c , d – числа. Считаем, что все эти числа и коэффициенты не равны нулю.

В подынтегральной функции у нас находится корень, а под корнем – дробь, в числителе и знаменателе которой располагаются линейные функции.

Метод стар – необходимо избавиться от корня. Стар и уныл, но сейчас станет веселее, поскольку придется проводить непростую замену.

Замена, с помощью которой мы гарантированно избавимся от корня, такова:

.

Теперь нужно выразить «икс» и найти, чему равен дифференциал dx . Выражаем «икс»:

Теперь найдем дифференциал:

Зачем были эти нелепые скучные телодвижения?

Мы вывели готовые формулы, которыми можно пользовать при решении интеграла вида

!

Формулы замены таковы:

.

Пример 25 Найти неопределенный интеграл

.

.

В данном примере: a =-1, b = 2, c = 3, d = 1. Тогда для dx имеем:

.

.

Такой интеграл, кстати, уже фигурировал в Примере 13. Интегрируем по частям:

Проведем обратную замену. Если изначально

,

.

Некоторым страшно, а я это продифференцировал, ответ верный! Иногда встречаются интегралы вида

, ,

но это нужно быть либо слишком умным, либо попасть под раздачу.

Идея та же – избавиться от корня, причем во втором случае, как все догадались, следует проводить подстановку

.

и самостоятельно выводить, чему будет равняться дифференциал dx . Теперь вам практически любой интеграл по силам, успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:

.

Интегрируем по частям:

.

.

Пример 6: Решение:

.

Интегрируем по частям:

Пример 8: Решение:

Дважды интегрируем по частям и сводим интеграл к самому себе:

Пример 10: Решение:

.

Пример 11: Решение:

Пример 12: Решение:

.

Пример 14: Решение:

Дважды используем рекуррентную формулу

Пример 16: Решение:

Пример 18: Решение:

.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector