Главная диагональ матрицы это

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел с некоторым количеством m строк и с некоторым количеством n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами матрицы.

Матрица порядка m × n записывается в форме:

или (i=1,2. m; j=1,2. n).

Числа aij входящие в состав данной матрицы называются ее элементами. В записи aij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j– номер столбца.

Матрица строка

Матрица размером 1×n, т.е. состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Например:

Матрица столбец

Матрица размером m×1, т.е. состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом. Например

Нулевая матрица

Если все элементы матрицы равны нулю,то матрица называется нулевой матрицей . Например

Квадратная матрица

Матрица A порядка m×n называется квадратной матрицей, если количество строк и столбцов совпадают: m=n. Число m=n называется порядком квадратной матрицы. Например:

Главная диагональ матрицы

Элементы расположенные на местах a 11, a 22 . ann образуют главную диагональ матрицы. Например:

В случае m×n -матриц элементы aii ( i= 1,2. min(m,n)) также образуют главную диагональ. Например:

Элементы расположенные на главной диагонали называются главными диагональными элементами или просто диагональными элементами .

Побочная диагональ матрицы

Элементы расположенные на местах a 1n, a 2n-1 . a n1 образуют побочную диагональ матрицы. Например:

Диагональная матрица

Квадратная матрица называется диагональной, если элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю. Пример диагональной матрицы:

Единичная матрица

Квадратную матрицу n-го порядка, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается через E или E n , где n – порядок матрицы. Единичная матрица порядка 3 имеет следующий вид:

Читайте также:  Заделка трещин на телефоне

След матрицы

Сумма главных диагональных элементов матрицы A называется следом матрицы и обозначается Sp A или Tr A. Например:

Верхняя треугольная матрица

Квадратная матрица порядка n×n называется верхней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные под главной диагональю, т.е. aij=0, при всех i>j . Например:

Нижняя треугольная матрица

Квадратная матрица порядка n×n называется нижней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные над главной диагональю, т.е. aij=0, при всех i T ).

Cтолбцы матрицы A образуют пространство столбцов матрицы и обозначаются через R(A).

Ядро или нуль пространство матрицы

Множесто всех решений уравнения Ax=0, где A- mxn-матрица, x– вектор длины n – образует нуль пространство или ядро матрицы A и обозначается через Ker(A) или N(A).

Противоположная матрица

Для любой матрицы A сущеcтвует противоположная матрица -A такая, что A+(-A)=0. Очевидно, что в качестве матрицы -A следует взять матрицу (-1)A, элементы которой отличаются от элементов A знаком.

Кососимметричная (Кососимметрическая) матрица

Кососимметричной называется квадратная матрица, которая отличается от своей транспонированной матрицы множителем −1:

В кососимметричной матрице любые два элемента, расположенные симметрично относительно главной диагонали отличаются друг от друга множителем −1, а диагональные элементы равны нулю.

Пример кососимметрической матрицы:

Разность матриц

Разностью C двух матриц A и B одинакового размера определяется равенством

Для обозначения разности двух матриц используется запись:

Степень матрицы

Пусть квадратная матрица размера n×n. Тогда степень матрицы определяется следующим образом:

где E-единичная матрица.

Из сочетательного свойства умножения следует:

где p,q– произвольные целые неотрицательные числа.

Симметричная (Симметрическая) матрица

Матрица, удовлетворяющая условию A=A T называется симметричной матрицей.

Для симметричных матриц имеет место равенство:

Матрицы — это прямоугольные таблицы из чисел, содержащие m строк и n столбцов.

Числа m и n называются порядками матрицы.

Запись матриц

Матрицы записываются с помощью больших круглых скобок

Для краткого обозначения матрицы используется большая латинская буква, например A, или символ a i,j или подробно

Элементы матрицы

Числа a i,j, входящие в состав матрицы, называются ее элементами. Здесь i — номер строки матрицы, j — номер столбца матрицы.

Квадратные матрицы

то матрицы называются квадратными

Читайте также:  Виджет загрузки процессора для windows 10

Главная диагональ матрицы

Главной диагональю матрицы называется диагональ

идущая из левого верхнего угла в правый нижний угол.

Побочная диагональ матрицы

Побочной диагональю матрицы называется диагональ

идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.

Равенство матриц

Две матрицы равны, если эти матрицы имеют одинаковые размеры, и все их соответствующие элементы совпадают.

Санкт-Петербург

Часть IV

ОПОРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ

Э. Н. ОСИПОВА

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ

ТЕХНОЛОГИИ И ДИЗАЙНА

УНИВЕРСИТЕТ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ

Российской Федерации

(МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ)

1 . МАТРИЦЫ

1.1. Основные понятия

Матрицей будем называть прямоугольную таблицу чисел, расположенных строками и столбцами; сами числа будем называть элементами матрицы , а число строк и число столбцов образуют размерность матрицы.

Приняты следующие обозначения.

– матрица размерностисодержит 2строки и 3столбца.

матрица-строка (строка), содержит 1 строку.

матрица-столбец (столбец), содержит 1столбец.

– матрица содержит mстрок и nстолбцов.

– означает, что i принимает все натуральные значения от 1 до n.

– элемент матрицы , расположенный на пересечении ее i -ой строки и j-го столбца; iи j называют индексами.

нулевая матрица размерности .

Квадратной матрицей n -го порядка будем называть матрицу, содержащую

n строк и n столбцов.

Элементы , у которых образуют ее главную диагональ,

а если , то они образуют побочную диагональ.

квадратная матрица 4-го порядка.

.

Квадратную матрицу будем называть треугольной, если все элементы, расположенные выше (либо ниже) главной диагонали равны нулю.

.

Квадратную матрицу будем называть диагональной, если все ее элементы, нерасположенные на главной диагонали равны нулю.

– диагональная матрица четвертого порядка.

Диагональную матрицу будем называть единичной, если все элементы главнойдиагонали равны 1.

– единичная матрица пятого порядка.

Элементы двух матриц будем называть соответствующими, если они имеют одинаковые индексы. Строки (столбцы) будем называть соответствующими, если они имеют одинаковый номер.

Транспонированием матрицы будем называть операцию замены всех столбцовсоответствующими строками

(всех строк соответствующими столбцами).

Матрицу будем называть симметрической (симметричной), если при транспонировании она не изменяется.

Из определения следует:

– симметрическая матрица может быть только квадратной;

– ее элементы расположены симметрично относительно главной диагонали.

Читайте также:  Как вернуть старую версию биоса

.

Две матрицы одинаковой размерности будем называть равными , если все их соответствующие элементы равны.

1.2. Действия с матрицами

Суммой двух матриц одинаковой размерности(А + В) будем называтьновую матрицу ( Х )той же размерности , каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых.

Произведением матрицы А на скаляр l ( l× А )будем называтьновую матрицу ( Х )той же размерности, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента данной матрицы на данный скаляр.

Из последних двух определений следует что разность двух матриц может быть найдена следующим образом:

Скалярным произведением двух строк (или двух столбцов, или строки и столбца), имеющих одинаковое количество элементов, будем называть число, равное сумме произведений всех соответствующих элементов.

Линейной комбинацией строк (столбцов) будем называть сумму произведений этих строк (столбцов) на вещественные числа (скаляры).

Сами числа при этом называют коэффициентами этой линейной комбинации.

Произведением двух матриц будем называть новую матрицу , у которой каждый элемент хijравен скалярному произведению i – ойстроки первого сомножителя на j -й столбец второго сомножителя.

Из определения следуют свойства:

1.2.1. Количество столбцов матрицы-множимого должно быть равно количеству строк матрицы-множителя;

1.2.2. Матрица-произведение имеет столько строк, сколько их у матрицы-множимого и столько столбцов, сколько их у матрицы-множителя.

1.2.3. Умножение матриц не подчиняется переместительному закону.

1.2.4. Квадратные матрицы можно умножать только, если они имеют одинаковый порядок.

1.2.5. Умножение квадратной матрицы на единичную матрицу и слева и справа не изменяет данную матрицу.

;

Две квадратные матрицы будем называть взаимно обратными, если их произведение равно единичной матрице.

Взаимно обратные матрицы обычно обозначают так: АиА -1 .

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Как то на паре, один преподаватель сказал, когда лекция заканчивалась – это был конец пары: "Что-то тут концом пахнет". 8409 – | 8025 – или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector