Доказательство пределов на языке эпсилон дельта

задан 25 Фев ’17 22:40

Романенко
183 ● 2 ● 7
60&#037 принятых

@Романенко: Вы бы уточнили, что конкретно Вас интересует. Тогда можно было бы сделать пояснения. Нужно разъяснить смысл стандартного определения предела функции в точке, или что-то другое?

Просто прокомментирую определение предела функции (вопроса не понял…). У каждой последовательности есть «хвост», в котором значения величины не выходят за границы промежутка определённого размера. Рассматриваем две такие последовательности: в одной последовательности каждый следующий элемент «ближе» к искомой точке «входной» переменной, чем предыдущий; а другая последовательность образована значениями функции для этих значений «входной» переменной. Соответствующие друг другу размеры промежутков, где заключены все значения величин в «хвостах» последовательностей, — это и есть эпсилоны и дельты.

PS: в анализе неуч, но здесь, я думаю, ничего не напутал. В чём состоял вопрос — как видно, угадал… Можно воспринимать эпсилоны, дельты и прочую «шушеру» как своего рода обещания: найдутся, найдутся такие «хвосты», в которых «нечисти» больше не будет. «Нечисть» — это всё, что не попадает в отрезок заданного размера (фактически — $%delta cdot 2$%).

@abracadabra10 , а можете пример какой ниб этого хвоста привести? хвост- это и есть эпсилон окресность?

Возьмём последовательность $%1/n$% ($%n$% — целые). Все числа, начиная с $%1/4$%, входят в отрезок $%(0; 1/pi)$%. Это и будет «хвост», на который дано «обещание».

@abracadabra10, а как величина может выходить за границы промежутка? и что значит :"в анализе неуч?"

@abracadabra10 а, ну ясно,т.е. определение говорит,что если задана послед-ть и она стремится к определенному числу,то она за определенные пределы(промежуток) этого числа не выйдет?

@Романенко: это верно с той оговоркой, что за пределы указанного промежутка последовательность не выйдет, начиная с некоторого достаточно большого номера своего члена. Начальные значения (их всегда конечное число) могут при этом вести себя как угодно.

Читайте также:  Драйвера для мини wifi адаптера

$%lim_/x>$%. Одна последовательность — это иксы. Чётко указать один следующий элемент для каждого предыдущего нельзя, но, во всяком случае, если одно число по модулю меньше другого, то оно в последовательности дальше. Вторая последовательность — это игреки. Каждому эпсилону, за границы которого рядом с единицей не должен выходить хвост игреков, соответствует дельта, в границах которой рядом с нулём навсегда остаётся хвост иксов. Какой бы маленький ни был эпсилон, всегда можно выделить такой хвост в последовательности иксов, который отправит значения функции внутрь…

Подумал ещё раз… Эти мои рассуждения — это костыли для «эпохи потенциальной бесконечности»… Если принимать актуальную бесконечность, то всё намного проще получается: никаких «хвостов» и никаких «обещаний». Так что прошу прощения за «философию».

Означает разговор в режиме «студента со студентом». Два непонимающих могут здорово друг другу помочь иногда.

Для того, чтобы оценить ресурс, необходимо авторизоваться.

В учебном пособии изложены основы теории числовых последовательностей и операций над ними, начала математического анализа, теоретические основы дифференциального исчисления. Приведены подробные решения задач и задачи для самостоятельной работы. Представлены основные обозначения и формулы, необходимые для решения задач. Рекомендовано Уральским отделением Учебно-методического объединения вузов РФ в области строительного образования в качестве учебного пособия для студентов строительных специальностей направления 6533500 "Строительство" всех форм обучения. Подготовлено кафедрой высшей математики УГТУ-УПИ.

Тема 1. Предел функции

Раздел: Предел и непрерывность функции

Допустим, что функция определена в некоторой области . Будем рассматривать понятие предела функции в точке .

Можно дать определение функции в точке по Гейне (см. конспект1-го курса) и по Коши.

Определение 1 (по Гейне). Число называется пределом функции в точке , если функция определена в некоторой окрестности точки (за исключением, может быть, самой точки ), и для всякой последовательности из окрестности и , последовательность соответствующих значений функции сходится к числу , т.е. .

Читайте также:  Задержка стрима на ютубе

.

Определение 2 (по Коши).Число А называется пределом функции в точке , если для любого сколь угодно малого числа найдется такое число , что для всех таких , что

(1)

. (2)

Заметим, что число выбирается как «своё» (по значению) для каждой точки и для каждого , т.е. .

Первое определение называется также определением предела функции «на языке последовательностей», а второе – определением предела «на языке » (эпсилон-дельта).

Определение 2 можно дать в геометрической форме. Используя свойство модуля неравенство (1) можно записать в виде

, т.е.

,

.

Аналогично из (2) .

Определение 3 (геометрическая форма определения Коши). Число А – предел функции в точке , если функция определена в некоторой проколотой окрестности точки и если для всякой окрестности точки А существует проколотая окрестность точки такая, что как только аргумент принадлежит этой проколотой окрестности, то значение функции принадлежит окрестности точки А.

Дадим графическую иллюстрацию этого определения.

Для того, чтобы доказать графически, что число А является пределом функции в точке , необходимо выбрать произвольную окрестность точки А, т.е. интервал с центром в точке А длины , который лежит на оси . Для каждого произвольного интервала доказать, что существует интервал точки на оси , что как только рассматривает аргументы из этого интервала, то соответствующие значения функции попадают в интервал точки А.

Можно доказать эквивалентность определений предела по Коши и по Гейне.

Не всякая функция имеет предел в точке. Например, функция в точке предела не имеет. В этой точке он неопределен вообще. Не имеет предела в точке функция . По определению предела это должно быть число. Функция при не стремится к конечному числу.

Т.о. относительно предела функции в точке возможны следующие случаи:

Читайте также:  Веб установщик библиотек directx для конечного пользователя

I.Функция имеет предел в точке. Это число.

II. Функция не имеет предела в точке:

1)она является бесконечно большой в этой точке, и хотя предела в этом случае нет, записывают

.

2)Предел не определен вообще и не ясно, к чему стремится функция в данной точке.

Кроме определения предела в точке рассматривают предел функции на бесконечности, т.е. при . В этом случае окрестностью называется множество точек . Относительно предела функции на бесконечности возможны следующие случаи:

I. Предел существует, и это число (рис. 1);

II. Предел не существует:

1) , т.е. функция является бесконечно большой, и записывают (рис.2);

2) предел неопределен вообще (рис. 3).

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студентов недели бывают четные, нечетные и зачетные. 9468 – | 7451 – или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector