Даны вершины треугольника найти длину высоты

Даны координаты вершин треугольника .

1) Вычислить длину стороны .

2) Составить уравнение линии .

3) Составить уравнение высоты, проведенной из вершины А, и найти ее длину.

4) Найти точку пересечения медиан.

5) Найти косинус внутреннего угла при вершине В.

6) Найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А, относительно прямой ВС.

А

1. Длина стороны ВС равна модулю вектора .

; .

2. Уравнение прямой ВС: ; ; .

3. Уравнение высоты АК запишем как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору :

. Длину высоты АК можно найти как расстояние от точки А до прямой ВС: .

4. Найдем координаты точки N – середины стороны ВС:

; ; .

Точка пересечения медиан О делит каждую медиану на отрезки в отношении .

Используем формулы деления отрезка в данном отношении :

.

5. Косинус угла при вершине В найдем как косинус угла между векторами и ;

.

6. Точка М, симметричная точке А относительно прямой ВС, расположена на прямой АК, перпендикулярной к прямой ВС, на таком же расстоянии от прямой, как и точка А. Координаты точки К найдем как решения системы Систему решим по формулам Крамера:

.

Точка К является серединой отрезка АМ.

.

Контрольные варианты к задаче 2

Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:

1) вычислить длину стороны ВС;

2) составить уравнение линии ВС;

3) составить уравнение высоты, проведенной из вершины А;

4) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;

5) найти точку пересечения медиан;

6) вычислить внутренний угол при вершине В;

Читайте также:  Как включить dhcp сервер на windows 7

7) найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой ВС.

1. . 2. .
3. . 4. .
5. . 6. .
7. . 8. .
9. . 10. .
11. . 12. .
13. . 14. .
15. . 16. .
17. . 18. .
19. . 20. .
21. . 22. .
23. . 24. .
25. . 26. .
27. . 28. .
29. . 30. .

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 10072 – | 7513 – или читать все.

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

  1. Найти уравнение стороны треугольника.
  2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Читайте также:  Боюсь ездить по москве

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Дан треугольник ABC, где

длину стороны AB;

внутренний угол A с точностью до градуса;

уравнение и длину высоты, опущенной из вершины C;

точку пересечения высот;

уравнение медианы, проведенной через вершину C;

систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC;

треугольник угол высота медиана

Расстояние d между двумя точками

Расстояние d между двумя точками и определяется по формуле

Применяя (1), находим длину стороны АВ:

Внутренний угол A с точностью до градуса

Найдем координаты векторов .

AB= ( x b – x a, y b – y a) = ( 2 – 5, 0 – (-4) ) = ( -3, 4).

AC= ( x c – x a, y c – y a) = ( 8 – 5, -3 – (-4) ) = ( 3, 1).

Находим длину AC

Тогда искомый угол находим по его косинусу:

A = arccos (-0,3165) = 108,4 o

Уравнение и длину высоты, опущенной из вершины C

Находим уравнение стороны АВ по формуле прямой проходящей через две точки:

Уравнение прямой проходящей через точки A (x a, y a) и B (x b, y b) в общем виде:

x b – x a y b – y a

Подставим координаты точек A (5, -4) и B (2, 0) в уравнение прямой (1).

  • 2 – 5 0 – (-4)
  • 4 ( x – 5 ) = -3 ( y + 4 )
  • 4 x – 20 = – 3 y – 12
  • 4 x + 3 y – 8 = 0 – уравнение прямой AB.

Отсюда следует, что уравнение АВ можно записать в виде: Её угловой коэффициент Тогда угловой коэффициент высоты, опущенной из вершины C а уравнение высоты то есть, 3 x – 4 y – 36 = 0 – уравнение высоты CH.

Длина высоты есть расстояние от точки С до прямой АВ: 4 x + 3 y – 8 = 0; A=4; B=3:

Точка пересечения высот

Аналогично найдем уравнение высоты АМ.

Находим уравнение стороны АВ по формуле прямой проходящей через две точки:

Читайте также:  Ганс вольтер killing floor 2

Уравнение прямой проходящей через точки C (x c, y c) и B (x b, y b) в общем виде:

Подставим координаты точек C (8, -3) и B (2, 0) в уравнение прямой (1)

Отсюда 2 x – y – 14 = 0 – уравнение высоты AM

Точку пересечения высот К находим, решая систему уравнений:

Решая системы методом исключения, получаем K(4;-6).

Уравнение медианы, проведенной через вершину C

Находим середину стороны АВ,

применяя формулы деления отрезка на две равные части:

Подставив в (1) координаты точек С и Е, находим уравнение медианы:

  • 2 ( x – 8 ) = -9 ( y + 3 )
  • 2 x – 16 = – 9 y – 27
  • 2 x + 9 y + 11 = 0 – уравнение медианы CN.

Cистема линейных неравенств, определяющих треугольник ABC

Выпишем уравнения сторон треугольника:

4 x + 3 y – 8 = 0 – уравнение прямой AB.

x – 3 y – 17 = 0 – уравнение прямой AC.

x + 2 y – 2 = 0 – уравнение прямой BС.

Тогда система линейных неравенств, определяющих треугольник ABC, имеет вид:

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector